ההצגה הצמודה
באלגברה מופשטת, ההצגה הצמודה (באנגלית: Adjoint Representation) מתייחסת לשני מושגים הקשורים זה לזה: ההצגה הצמודה של חבורת לי וההצגה הצמודה של אלגברת לי.
ההצגה הצמודה של חבורת לי
תהי $ G $ חבורת לי. כל איבר $ A\in G $ משרה אוטומורפיזם פנימי
- $ \operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1} $
(זו למעשה הצמדה בתורת החבורות). ההעתקה
- $ \operatorname {Inn} :G\to \operatorname {Aut} (G)\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Inn} _{A} $
היא בעצם הומומורפיזם מ-$ G $ לחבורת האוטומורפיזמים על $ G $.
לפי פונקציית קורי אפשר להסתכל על Inn כהומומורפיזם בשני ארגומנטים
- $ G\times G\ni (A,B)\longmapsto \operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1} $
גזירה של העתקה זו ביחס לארגומנט השני מגדיר העתקה חדשה
- $ \operatorname {Ad} :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})=\mathbf {GL} ({\mathfrak {g}})\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Ad} _{A} $
מהחבורה $ G $ לחבורת האוטומורפיזמים של $ {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G $ (אלגברת לי של $ G $) שנתונה על ידי
- $ \operatorname {Ad} _{A}(b)=AbA^{-1} $ לכל $ b\in {\mathfrak {g}} $.
נשים לב שאלגברת לי $ {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G $ היא מרחב וקטורי. אזי ההעתקה $ \operatorname {Ad} :G\to \mathbf {GL} (\operatorname {Lie} G) $ היא הצגה ליניארית של $ G $ ונקראת ההצגה הצמודה של $ G $.
ההצגה צמודה של אלגברת לי
ההצגה הצמודה של אלגברת לי $ L $ היא הפונקציה המתאימה לכל איבר $ x $ באלגברה את האנדומורפיזם של $ L $ המתקבל על ידי כפל משמאל באיבר. זוהי הצגה ליניארית של האלגברה, שיש לה תפקיד מרכזי בתורה של אלגברות לי.
הגדרה
תהי $ L $ אלגברת לי. לכל $ x\in L $, ההצגה הצמודה של $ x $ הוא העתקה $ \operatorname {ad} _{x}:L\rightarrow L $ המוגדרת על ידי $ \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y] $.
העתקת הצמוד היא העתקה $ \operatorname {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L) $ מהאלגברה אל אלגברת האנדומורפיזמים, הנתונה על ידי $ \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} _{x} $.
תכונות
- $ \operatorname {ad} $ היא העתקה ליניארית.
- התמונה של העתקת הצמוד נמצאת בתוך מרחב הנגזרות (כלומר, כל ייצוג מצמיד הוא נגזרת, ובפרט מקיים את כלל לייבניץ).
- כאשר האלגברה פשוטה למחצה, ההעתקה היא חד חד ערכית ולכן מהווה שיכון לתוך $ {\mathfrak {gl}}(L) $.
- העתקת הצמוד היא הומומורפיזם של אלגברות לי, כלומר מתקיים $ \,[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]=\operatorname {ad} _{[x,y]} $.
- משפט אנגל מקשר בין הנילפוטנטיות של איברי $ L $ לאיברי $ \operatorname {ad} (L) $, וקובע כי אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי $ \operatorname {ad} (L) $ נילפוטנטים.
הקשר בין שתי ההצגות
לקריאה נוספת
- Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,James Humphreys, p.8
קישורים חיצוניים
- ההצגה הצמודה, באתר MathWorld (באנגלית)
- ד"ר צחי אבנור, סיכום מקוצר של ההצגה הצמודה דרך ארכיון האינטרנט
ההצגה הצמודה35047065Q4379157