ההצגה הצמודה

באלגברה מופשטת, ההצגה הצמודה (באנגלית: Adjoint Representation) מתייחסת לשני מושגים הקשורים זה לזה: ההצגה הצמודה של חבורת לי וההצגה הצמודה של אלגברת לי.

ההצגה הצמודה של חבורת לי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

תהי $G$ חבורת לי. כל איבר $A\in G$ משרה אוטומורפיזם פנימי

$\operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1}$

(זו למעשה הצמדה בתורת החבורות). ההעתקה

$\operatorname {Inn} :G\to \operatorname {Aut} (G)\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Inn} _{A}$

היא בעצם הומומורפיזם מ-$G$ לחבורת האוטומורפיזמים על $G$.

לפי פונקציית קורי אפשר להסתכל על Inn כהומומורפיזם בשני ארגומנטים

$G\times G\ni (A,B)\longmapsto \operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1}$

גזירה של העתקה זו ביחס לארגומנט השני מגדיר העתקה חדשה

$\operatorname {Ad} :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})=\mathbf {GL} ({\mathfrak {g}})\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Ad} _{A}$

מהחבורה $G$ לחבורת האוטומורפיזמים של ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G$ (אלגברת לי של $G$) שנתונה על ידי

$\operatorname {Ad} _{A}(b)=AbA^{-1}$ לכל $b\in {\mathfrak {g}}$.

נשים לב שאלגברת לי ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G$ היא מרחב וקטורי. אזי ההעתקה $\operatorname {Ad} :G\to \mathbf {GL} (\operatorname {Lie} G)$ היא הצגה ליניארית של $G$ ונקראת ההצגה הצמודה של $G$.

ההצגה צמודה של אלגברת לי

ההצגה הצמודה של אלגברת לי $L$ היא הפונקציה המתאימה לכל איבר $x$ באלגברה את האנדומורפיזם של $L$ המתקבל על ידי כפל משמאל באיבר. זוהי הצגה ליניארית של האלגברה, שיש לה תפקיד מרכזי בתורה של אלגברות לי.

הגדרה

תהי $L$ אלגברת לי. לכל $x\in L$, ההצגה הצמודה של $x$ הוא העתקה $\operatorname {ad} _{x}:L\rightarrow L$ המוגדרת על ידי $\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]$.

העתקת הצמוד היא העתקה $\operatorname {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L)$ מהאלגברה אל אלגברת האנדומורפיזמים, הנתונה על ידי $\operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} _{x}$.

תכונות

• $\operatorname {ad}$ היא העתקה ליניארית.

• הגרעין של העתקת הצמוד הוא המרכז של האלגברה.

• התמונה של העתקת הצמוד נמצאת בתוך מרחב הנגזרות (כלומר, כל ייצוג מצמיד הוא נגזרת, ובפרט מקיים את כלל לייבניץ).

• כאשר האלגברה פשוטה למחצה, ההעתקה היא חד חד ערכית ולכן מהווה שיכון לתוך ${\mathfrak {gl}}(L)$.

• העתקת הצמוד היא הומומורפיזם של אלגברות לי, כלומר מתקיים $\,[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]=\operatorname {ad} _{[x,y]}$.

• משפט אנגל מקשר בין הנילפוטנטיות של איברי $L$ לאיברי $\operatorname {ad} (L)$, וקובע כי אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי $\operatorname {ad} (L)$ נילפוטנטים.

הקשר בין שתי ההצגות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,James Humphreys, p.8

קישורים חיצוניים

• ההצגה הצמודה, באתר MathWorld (באנגלית)

• ד"ר צחי אבנור, סיכום מקוצר של ההצגה הצמודה דרך ארכיון האינטרנט

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ההצגה הצמודה35047065Q4379157