ההצגה הצמודה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה מופשטת, ההצגה הצמודהאנגלית: Adjoint Representation) מתייחסת לשני מושגים הקשורים זה לזה: ההצגה הצמודה של חבורת לי וההצגה הצמודה של אלגברת לי.

ההצגה הצמודה של חבורת לי

תהי $ G $ חבורת לי. כל איבר $ A\in G $ משרה אוטומורפיזם פנימי

$ \operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1} $

(זו למעשה הצמדה בתורת החבורות). ההעתקה

$ \operatorname {Inn} :G\to \operatorname {Aut} (G)\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Inn} _{A} $

היא בעצם הומומורפיזם מ-$ G $ לחבורת האוטומורפיזמים על $ G $.

לפי פונקציית קורי אפשר להסתכל על Inn כהומומורפיזם בשני ארגומנטים

$ G\times G\ni (A,B)\longmapsto \operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1} $

גזירה של העתקה זו ביחס לארגומנט השני מגדיר העתקה חדשה

$ \operatorname {Ad} :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})=\mathbf {GL} ({\mathfrak {g}})\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Ad} _{A} $

מהחבורה $ G $ לחבורת האוטומורפיזמים של $ {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G $ (אלגברת לי של $ G $) שנתונה על ידי

$ \operatorname {Ad} _{A}(b)=AbA^{-1} $ לכל $ b\in {\mathfrak {g}} $.

נשים לב שאלגברת לי $ {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G $ היא מרחב וקטורי. אזי ההעתקה $ \operatorname {Ad} :G\to \mathbf {GL} (\operatorname {Lie} G) $ היא הצגה ליניארית של $ G $ ונקראת ההצגה הצמודה של $ G $.

ההצגה צמודה של אלגברת לי

ההצגה הצמודה של אלגברת לי $ L $ היא הפונקציה המתאימה לכל איבר $ x $ באלגברה את האנדומורפיזם של $ L $ המתקבל על ידי כפל משמאל באיבר. זוהי הצגה ליניארית של האלגברה, שיש לה תפקיד מרכזי בתורה של אלגברות לי.

הגדרה

תהי $ L $ אלגברת לי. לכל $ x\in L $, ההצגה הצמודה של $ x $ הוא העתקה $ \operatorname {ad} _{x}:L\rightarrow L $ המוגדרת על ידי $ \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y] $.

העתקת הצמוד היא העתקה $ \operatorname {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L) $ מהאלגברה אל אלגברת האנדומורפיזמים, הנתונה על ידי $ \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} _{x} $.

תכונות

  • $ \operatorname {ad} $ היא העתקה ליניארית.
  • התמונה של העתקת הצמוד נמצאת בתוך מרחב הנגזרות (כלומר, כל ייצוג מצמיד הוא נגזרת, ובפרט מקיים את כלל לייבניץ).
  • העתקת הצמוד היא הומומורפיזם של אלגברות לי, כלומר מתקיים $ \,[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]=\operatorname {ad} _{[x,y]} $.

הקשר בין שתי ההצגות

לקריאה נוספת

  • Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,James Humphreys, p.8

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ההצגה הצמודה35047065Q4379157