משפט אנגל

באלגברה מופשטת, משפט אנגל קובע כי אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם ההצגה הצמודה של כל איבר בה היא איבר נילפוטנטי. למשפט מסקנות חשובות בתאוריה של אלגברות לי ומיונן, ובפרט הוא מהווה כלי עזר בהוכחות שונות, כמו בקריטריון קרטן.

ניסוח פורמלי

תהי $L$ אלגברת לי מעל שדה $F$. אזי $L$ נילפוטנטית אם ורק אם לכל $x\in L$ ההצגה הצמודה $\operatorname {ad} (x)$ נילפוטנט.

הוכחה

בכיוון הראשון, אם $L$ נילפוטנטית אז לפי הגדרה $\forall {x}_{i},y\in L:\operatorname {ad} {x}_{1}\operatorname {ad} {x}_{2}...\operatorname {ad} {x}_{n}(y)=0$ (עבור $n$ ספציפי), ולכן בפרט $\forall x\in L:(\operatorname {ad} x)^{n}=0$.

בכיוון השני, יש להיעזר בלמה:

למה: תהי $L$ תת-אלגברת של אלגברת האנדומורפיזמים ${\mathfrak {gl}}(V)$, עבור $V$ סוף ממדי. אם כל איברי $L$ נילפוטנטים, אז קיים וקטור $v\in V$ לא אפס, כך ש- $\forall f\in L:f(v)=0$. כלומר, קיים וקטור עצמי משותף לכל איברי $L$.

(הוכחת הלמה ראו בקריאה נוספת).

כעת, להוכחת הכיוון השני, נפעיל את הלמה עבור $\operatorname {ad} (L)$, תמונת ההצגה הצמודה, ונקבל כי קיים וקטור $x\in L$ כך ש-$[L,x]=0$, כלומר $x$ שייך למרכז $Z(L)$ של $L$, ולכן המרכז לא ריק. באינדוקציה על הממד, נובע כי $L/Z(L)$, שממדה קטן מממד $L$, היא נילפוטנטית, ולכן גם $L$ נילפוטנית.

מסקנות

מסקנה ושימוש חשובים של המשפט הם שבהינתן אלגברת לי נילפוטנטית $L$, כל איבר ב-$\operatorname {ad} (L)$ (שהוא נילפוטנט) ניתן להציג לפי בסיס מסוים בתור מטריצה משולשית עליונה ממש (עם אפסים באלכסון). בפרט, העקבה של כל איבר כזה היא אפס.

מסקנה נוספת היא שהמרכז של אלגברת לי נילפוטנטית הוא לא ריק.

ראו גם

• אלגברת לי נילפוטנטית
• ההצגה הצמודה
• קריטריון קרטן

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 12-13

קישורים חיצוניים

• משפט אנגל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט אנגל23771405Q3527069