חבורת אוטומורפיזמים

ערך זה עוסק בחבורת האוטומורפיזמים של חבורה. אם התכוונתם לחבורת האוטומורפיזמים של מבנים כלליים יותר, ראו חבורת סימטריות.

בתורת החבורות, חבורת האוטומורפיזמים של חבורה $G$ , שסימונה המקובל $\operatorname {Aut} (G)$ , היא אוסף כל האוטומורפיזמים של החבורה לעצמה, כלומר, אוסף הפונקציות ההפיכות $\sigma :G\rightarrow G$ , המקיימות את התנאי $\sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y)$ (מאקסיומה זו נובע גם ש- $\sigma (1)=1$ , כאשר 1 הוא איבר היחידה של $G$ ).

אם $G$ היא חבורה, כל פעולת הצמדה, מהצורה $x\mapsto gxg^{-1}$ , היא אוטומורפיזם, הנקרא אוטומורפיזם פנימי. אוסף האוטומורפיזמים הפנימיים הוא תת-חבורה נורמלית של $\operatorname {Aut} (G)$ , שאותה מסמנים בסימון $\operatorname {Inn} (G)$ . הפונקציה $G\rightarrow \operatorname {Aut} (G)$ המעתיקה את האיבר $g$ לאוטומורפיזם ההצמדה $\gamma _{g}:x\mapsto gxg^{-1}$ היא הומומורפיזם, שהתמונה שלו היא כמובן $\operatorname {Inn} (G)$ , והגרעין שלו הוא המרכז $Z(G)$ של $G$ . לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, $\operatorname {Inn} (G)\cong G/Z(G)$ .

אם G בעלת מרכז טריוויאלי, אז יש שיכון $\ G\hookrightarrow \operatorname {Aut} (G)$ . אם השיכון הזה הוא על, החבורה שלמה. כאשר G בעלת מרכז טריוויאלי, גם חבורת האוטומורפיזמים בעלת מרכז טריוויאלי. עובדה זו מגדירה את "מגדל חבורות האוטומורפיזמים" $\ G\hookrightarrow \operatorname {Aut} (G)\hookrightarrow \operatorname {Aut} ^{2}(G)\hookrightarrow \cdots$ . לפי משפט של Wielandt, המגדל הזה סופי לכל חבורה סופית (בעלת מרכז טריוויאלי).

אוטומורפיזם שאינו פנימי נקרא "חיצוני". תוך שיבוש קל של הטרמינולוגיה, חבורת המנה $\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)$ נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של $G$ . לחבורה אבלית אין אוטומורפיזם פנימי לא טריוויאלי, אבל כאשר המרכז קטן (ובפרט, כאשר הוא טריוויאלי), לא פשוט לבנות אוטומורפיזמים חיצוניים, ובדרך כלל חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים קטנה ביחס לחבורה. חבורה בת מרכז טריוויאלי ונטולת אוטומורפיזמים חיצוניים נקראת חבורה שלמה.

דוגמאות

חבורת האוטומורפיזם של חבורת השלמים החיבורית $(\mathbb {Z} ,+)$ היא $\{\mathrm {id} ,-1\}$ כאשר $\mathrm {id}$ הוא אוטומורפיזם הזהות ו- $-1$ הוא האוטומורפיזם השולח כל $z\in \mathbb {Z}$ ל- $-z\in \mathbb {Z}$ . מאחר שזו חבורה אבלית, $\operatorname {Inn} (\mathbb {Z} )=\{\mathrm {id} \}$ היא חבורה טריוויאלית.
חבורת האוטומורפיזמים של החבורה הציקלית מסדר $n$ , $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , היא חבורת אוילר מסדר $n$ , $U_{n}$ .
אם $p$ ראשוני, חבורת האוטומורפיזמים של המכפלה הישרה $(\mathbb {F} _{p})^{n}$ היא חבורת המטריצות $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})$ .