שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה לינארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i,j) שלה נמצא האיבר ה-(j,i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף A^T של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית

תהא $\!\,A$ מטריצה מסדר $\!\,n\times m$. המטריצה המשוחלפת שלה, $\!\,A^{t}$ (מקובלים גם הסימונים $\ A^{T},A^{\top },{}^{t}A,A^{tr},A'$) היא מטריצה מסדר $\!\,m\times n$ שמוגדרת כך: $\!\,(A^{t})_{ij}=(A)_{ji}$, עבור כל $\!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n$.

דוגמאות:

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\qquad$

$\qquad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

• $\!\,(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}$.
• $\!\,(\lambda A)^{t}=\lambda (A^{t})$.
• $\!\,(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$
• $\!\,(A^{t})^{t}=A$

מן התכונות האלה נובע גם שאם $\!\,A$ הפיכה אז גם $\ A^{t}$ הפיכה ו-$\!\,(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של $\ A^{t}$ שווה לזה של $\ A$ , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית $\ A$ נקראת סימטרית אם $\ A=A^{t}$, כלומר $\ A$ שווה למטריצה המשוחלפת שלה. $\ A$ נקראת אנטי-סימטרית אם $\ -A=A^{t}$.

אם $\ A$ היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים $\ A^{-1}=A^{t}$, אז $\ A$ נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית $\ A$ היא אורתוגונלית אם ורק אם $\ AA^{t}=A^{t}A=I$, כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה $\ A$ מסומן $\ A^{*}$ וכאמור מוגדר לפי $\ (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}$. אם $\ A$ מקיימת $\ A^{*}=A$, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה לינארית

ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה לינארית

אם $\ V$ ו-$\ W$ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה $\mathbb {F}$ ו-$T:V\to W$ היא העתקה לינארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה $T^{t}:W^{*}\to V^{*}$ בין המרחבים הדואליים של $\ W$ ו-$\ V$ המוגדרת באופן הבא:

$\left(T^{t}g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right)$ לכל $v\in V$ ולכל $g\in W^{*}$.

זוהי העתקה לינארית ודרגתה שווה לדרגת $\ T$. הפונקציונל $\ T^{t}g$ מכונה לעיתים המשיכה לאחור של $\ g$ במקביל ל-$\ T$.

אם $\ V$ ו-$\ W$ הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, ${\mathfrak {B}}$ הוא בסיס סדור ל-$\ V$ עם בסיס דואלי ${\mathfrak {B}}^{*}$, ${\mathfrak {B}}'$ הוא בסיס סדור ל-$\ W$ עם בסיס דואלי ${\mathfrak {B}}'^{*}$ ו-$\ A$ היא המטריצה המייצגת של $\ T$ ביחס לבסיסים ${\mathfrak {B}},{\mathfrak {B}}'$, אז המטריצה המייצגת של $\ T^{t}$ ביחס לבסיסים ${\mathfrak {B}}'^{*},{\mathfrak {B}}^{*}$ היא בדיוק $\ A^{t}$.