חוג כהן-מקולי

באלגברה קומוטטיבית, חוג כהן-מקולי הוא חוג נתרי קומוטטיבי, שהמיקומים שלו באידיאלים מקסימליים הם בעלי סדרות רגולריות ארוכות "ככל האפשר" (ראו הגדרה בהמשך). חוגי כהן-מקולי מופיעים בהקשרים גאומטריים, קוהומולוגיים וקומבינטוריים. לדוגמה, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית הוא תמיד כהן-מקולי.

הגדרה

סדרות רגולריות

סדרת איברים $x_{1},\dots ,x_{t}\in I$ באידיאל $I$ של חוג קומוטטיבי $R$ היא סדרה רגולרית אם לכל $i$, $x_{i+1}$ הוא רגולרי (כלומר, אינו מחלק אפס) בחוג המנה $R/\langle x_{1},\dots ,x_{i}\rangle$. לכל הסדרות הרגולריות המקסימליות אותו אורך, והוא אינו יכול לעלות על ממד קרול של החוג.

למשל, בתת-החוג $F[x^{4},x^{3}y,xy^{3},y^{4}]$ של חוג הפולינומים בשני משתנים מעל השדה $F$, האבר $x^{4}$ הוא רגולרי, אבל בחוג המנה כפל באיבר $x^{6}y^{2}$ (שאינו אפס) שולח לאפס כל איבר של האידיאל המקסימלי הטבעי; לכן 1 הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית באידיאל הזה, בעוד שהחוג עצמו מממד 2.

חוגי כהן-מקולי

חוג נתרי קומוטטיבי מקומי הוא חוג כהן-מקולי אם יש לו סדרה רגולרית שאורכה שווה לממד שלו. חוג נתרי קומוטטיבי הוא כהן-מקולי אם כל מיקום שלו באידיאל מקסימלי מקיים תכונה זו.

דוגמאות ופעולות מותרות

כל חוג מקומי רגולרי הוא כהן-מקולי. כל חוג קומוטטיבי ארטיני הוא כהן-מקולי. כל תחום שלמות נתרי בעל ממד קרול 1 הוא כהן-מקולי.

חוג קומוטטיבי נתרי $R$ הוא כהן-מקולי אם ורק אם חוג הפולינומים $R[x]$ הוא כזה. כל מיקום $S^{-1}R$ של חוג כהן-מקולי $R$ הוא כהן-מקולי בעצמו. אם $R$ הוא כהן-מקולי ו-$I=\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle$ אידיאל מגובה $n$, אז הסדרה $x_{1},\dots ,x_{n}$ רגולרית, והמנה $R/I$ היא כהן-מקולי. ההשלמה ה-$M$-אדית של חוג מקומי היא כהן-מקולי אם ורק אם החוג עצמו הוא כזה.

אם $R$ חוג כהן-מקולי ו-$G$ חבורה סופית הפועלת על $R$ שסדרה הפיך ב-$R$, אז גם חוג השמורות $R^{G}$ הוא כהן-מקולי. בפרט, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית (עם סדר זר למאפיין של שדה הבסיס) הוא כהן-מקולי. תכונה זו נכונה לכל חבורה רדוקטיבית (חבורה שכל הצגה סוף-ממדית שלה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות) הפועלת על חוג פולינומים מעל שדה סגור אלגברית.

פירוש קוהומולוגי

לאורך המקסימלי של סדרה רגולרית ב-$I$ יש פירוש קוהומולוגי: הוא שווה לערך הקטן ביותר של $i$ שעבורו $\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,R)\neq 0$.

גרותנדיק הוכיח שבכל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, אם $t$ הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית ו-$d$ הוא הממד, אז $\ H^{i}=\lim _{\rightarrow }\operatorname {Ext} ^{i}(R/M,R)$ שווה לאפס עבור $i$ מחוץ לקטע $[t,d]$, ושונה מאפס בקצוות.

דרך נוספת לאפיין חוג כהן-מקולי היא באמצעות קוהומולוגיה מקומית: בהינתן חוג נתרי מקומי $(A,{\mathfrak {m}})$, משפטי ההתאפסות ואי ההתאפסות של גרותנדיק קובעים כי $\sup\{i:\mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(A)\neq 0\}=\dim(A)$ וכי $\inf\{i:\mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(A)\neq 0\}=\operatorname {depth} (A)$, כאשר $\operatorname {depth} (A)$ מסמל את אורכה המקסימלי של הסדרה הרגולרית באידיאל המקסימלי. לפיכך, חוג כזה הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקוהומולוגיה המקומית שלו מרוכזת במעלה בודדת, שהיא בהכרח ממד קרול של החוג.

מסקנה מיידית מאפיון זה וממשפט הדואליות המקומית של גרותנדיק הוא שאם לחוג מקומי קיים קומפלס דואליזנטי (Dualizing complex), אז החוג הוא כהן-מקולי אם ורק אם אותו קומפלס דואליזנטי מרוכז במעלה אחת, כלומר הוא Dualizing module.

השערת באס (Bass), אשר הוכחה על ידי Peskine ו-Szpiro מציעה אפיון נוסף של חוגי כהן-מקולי. חוג נתרי מקומי הוא כהן-מקולי אם ורק אם קיים מעליו מודול נוצר סופית השונה מאפס ובעל ממד אינג'קטיבי סופי.

חוגי גורנשטיין

חוג כהן-מקולי מקומי $R$, עם אידיאל מקסימלי $M$, נקרא חוג גורנשטיין אם ההשלמה ה-$M$-אדית של $R$ שווה ל-$\operatorname {Hom} _{R}(H^{d},E)$, כאשר $E$ הוא הסגור האינג'קטיבי של המודול $R/M$ ו-$H^{d}=\lim _{\rightarrow }\operatorname {Ext} ^{d}(R/M,R)$ כדלעיל. באופן שקול, חוג נתרי מקומי הוא גורנשטיין אם ורק אם יש לו ממד אינג'קטיבי סופי מעל עצמו.

כל חוג מקומי רגולרי הוא גורנשטיין. יהי $F$ שדה, אז חוג טורי החזקות הפורמליים $F[[t^{2},t^{3}]]$ הוא גורנשטיין אבל אינו רגולרי. חוג טורי החזקות הפורמליים $F[[t^{3},t^{4},t^{5}]]$ הוא כהן-מקולי אבל אינו גורנשטיין.

ראו גם

• שמורה פולינומית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29199845חוג כהן-מקולי