חוג מקומי רגולרי

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, חוג מקומי רגולרי הוא חוג מקומי נתרי בעל התכונה שמספר היוצרים המינימלי של האידיאל המקסימלי שלו שווה לממד קרול שלו. כל חוג מקומי רגולרי הוא תחום פריקות יחידה.

מספר היוצרים המינימלי תמיד חסום מלמטה על ידי ממד קרול. במילים אחרות, אם $A$ חוג מקומי עם אידיאל מקסימלי $m$, אז מספר היוצרים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} הוא לפחות המימד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{dim}A} , והחוג רגולרי אם אפשר למצוא לאידיאל המקסימלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{dim}A} יוצרים. מספר היוצרים המינימלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} שווה לממד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m/m^2} כמרחב הווקטורי מעל שדה השאריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=A/m} .

חוגים מקומיים רגולריים הוגדרו לראשונה על ידי וולפגנג קרול, אך חשיבותם הרבה התגלתה בעבודתו של אוסקר זריצקי אשר הראה כי מבחינה גאומטרית, חוגים מקומיים רגולריים מתאימים לנקודות חלקות על יריעות אלגבריות: נניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} היא יריעה אלגברית המוכלת במרחב האפיני ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדי, ונניח כי $Y$ מוגדרת להיות האפסים המשותפים של הפולינומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1,\cdots,f_m} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} נקודה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} , אומרים כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} היא לא-סינגולרית ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} אם מתקיים תנאי היעקוביאן: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M=\partial f_i \partial x_j} היא מטריצת הנגזרות החלקיות של המשוואות המגדירות את היריעה אז דרגת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-dim Y} . זריצקי הוכיח כי $Y$ לא סינגולרית בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} אם ורק אם החוג המקומי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} הוא חוג מקומי רגולרי. בפרט, נובע מכך כי העובדה שנקודה על יריעה היא חלקה תלויה רק ביריעה עצמה ולא בשיכון זה או אחר שלה במרחב האפיני. כמו כן, עובדה זו מרמזת על כך שלחוגים מקומיים רגולריים יש תכונות "טובות" המקלות על עבודה איתם, אך בטרם הוצגו טכניקות מאלגברה הומולוגית הוכחו רק תוצאות מעטות בכיוון זה. לאחר ששיטות הומולוגיות הומצאו בשנות ה-50 של המאה ה-20, Auslander ו-Buchsbaum הוכיחו כי כל חוג מקומי רגולרי הוא תחום פריקות יחידה.

תכונה נוספת הנובעת מאינטואיציה גאומטרית היא שביצוע לוקליזציה לחוג מקומי רגולרי צריכה לתת חוג מקומי רגולרי. דוגמה לאינטרפרטציה גאומטרית של תכונה זו היא שאם משטח אלגברי מכיל עקום אלגברי, ואם העקום הוא חלק, אז סמוך לעקום גם המשטח הוא חלק. גם תוצאה זו נשארה בלתי פתורה עד להצגתן של שיטות הומולוגיות. ז'אן-פייר סר גילה אפיון הומולוגי של חוגים מקומיים רגולריים: חוג מקומי נתרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא רגולרי אם ורק אם יש לו ממד גלובלי סופי. קל להראות כי התכונה של להיות בעל ממד גלובלי סופי נשמרת תחת לוקליזציה, ולפיכך לוקליזציה של חוג מקומי רגולרי באידיאל ראשוני היא שוב חוג מקומי רגולרי. כמו כן, תכונה זו מאפשרת להגדיר את המושג חוג רגולרי עבור חוגים שאינם בהכרח מקומיים: חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} נקרא רגולרי אם הלוקליזציה שלו בכל אחד מהאידיאלים הראשוניים שלו נותנת חוגים מקומיים רגולריים. תכונה זו שקולה לכך של-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ממד גלובלי סופי.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא חוג רגולרי אז חוג הפולינומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A[x]} וחוג טורי החזקות הפורמליים $A[[x]]$ גם הם רגולריים.

דוגמאות

• כל שדה הוא חוג מקומי רגולרי. לשדות יש ממד קרול 0, ולמעשה השדות הם בדיוק החוגים המקומיים הרגולרים מממד 0.
• כל תחום הערכה דיסקרטית הוא חוג מקומי רגולרי מממד 1, וגם להפך - כל חוג מקומי רגולרי מממד 1 הוא תחום הערכה דיסקרטית.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} הוא מספר ראשוני, אז חוג השלמים ה-p אדיים הוא דוגמה לתחום הערכה דיסקרטית, ולכן חוג מקומי רגולרי, שאינו מכיל אף שדה.
• באופן כללי, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא שדה ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_1,\dots,X_d} הם משתנים, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k[[x_1,\dots,x_d]]} הוא חוג מקומי רגולרי מממד קרול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} .
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb Z} הוא חוג המספרים השלמים ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} הוא משתנה אז החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{\mathbb Z}[x]}_{(2,x)}} (הלוקליזציה של חוג הפולינומים עם מקדמים שלמים באידיאל זה) הוא דוגמה לחוג מקומי רגולרי מממד 2 שאינו מכיל שדה.

קישורים חיצוניים

• חוג מקומי רגולרי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32911440חוג מקומי רגולרי