חבורות ההומוטופיה

בטופולוגיה אלגברית ניתן לבנות לכל מרחב טופולוגי מנוקד (כלומר, עם בחירה של נקודת בסיס) סדרה של חבורות, המכונות חבורות ההומוטופיה, ומסומנות $\pi _{n}(X,a)$ . חשיבותן בכך שהן תורמות למחקר טיפוס ההומוטופיה של המרחב.

חבורת ההומוטופיה הראשונה אינה אלא החבורה היסודית של המרחב; בניית חבורות ההומוטופיה מכלילה את בנייתה של החבורה היסודית באופן טבעי. בעזרת חבורות ההומוטופיה ניתן לחקור תכונות טופולוגיות נוספות של המרחב, אותן החבורה היסודית לא תמיד מצליחה "לתפוס". בפועל, לא ידועות חבורות ההומוטופיה גם למרחבים הנחשבים פשוטים, כמו ספירה.

הגדרה

יהי $(X,a)$ מרחב טופולוגי מנוקד. לכל $n\geq 0$ מגדירים את חבורת ההומוטופיה ה- $n$ , המסומנת $\pi _{n}(X,a)$ , להיות קבוצת העתקות $S^{n}\to X$ (כאשר $S^{n}$ היא הספירה ה- $n$ ממדית), עד כדי הומוטופיה ביחס לנקודה. באופן שקול, ניתן להגדיר את איבריה בתור קבוצת ההעתקות $[0,1]^{n}\to X$ מההיפרקובייה עד כדי הומוטופיה ביחס לשפת הקוביה $\partial [0,1]^{n}$ . ההגדרה השנייה נוחה יותר (כך למשל מוגדרת החבורה היסודית $\pi _{1}(X,a)$ ). ההגדרות שקולות, שכן אם מזהים את כל השפה של הקוביה לנקודה אחת, מקבלים את הספירה.

עבור $n\geq 1$ קבוצה זו מהווה חבורה עם פעולת השרשור, שמוגדרת בתור הדבקת שתי קוביות על אחת הצלעות ב"קצב כפול", בדומה להגדרת הפעולה בחבורה היסודית.

חבורות ההמוטופיה מהוות פונקטור בין מרחבים טופולוגיים לחבורות. זהו אינווריאנט עד כדי שקילות הומוטופית (לכל מרחבים שקולים הומוטופית אותן חבורות הומוטופיה).

מבנה

בעזרת חבורות ההומוטופיה ניתן להבין את התכונות ההומוטופיה של המרחב.

תכונות בסיסיות

ראשית, (באופן כללי) על $\pi _{0}(X,a)$ לא ניתן להגדיר מבנה טבעי של חבורה. קבוצה זו מזוהה באופן טבעי עם מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב. מאידך, למשל במקרה של חבורת לי, ההומוטופיה האפס היא חבורת המנה $G/G_{0}$ , כאשר $G_{0}$ הוא רכיב הקשירות של היחידה.

כאמור לעיל, לכל $n\geq 1$ על $\pi _{n}(X,a)$ יש מבנה טבעי של חבורה. עבור $n\geq 2$ חבורה זו היא אבלית. כדי להוכיח זאת, יש להביט בהעתקות $f,g:[0,1]^{n}\to X$ , לכווץ אותן מעט, לסובב ואז להרחיב חזרה (מה שלא אפשרי במקרה החד ממדי).

הבחנה חשובה נוספת היא שבחבורת הומוטופיה כללית, בניגוד לחבורה היסודית, יש משמעות לנקודת הבסיס. במרחב קשיר מסילתית, כל החבורות איזומורפיות, אך אינן זהות. במרחב פשוט קשר אפשר שלא להתייחס לנקודת הבסיס לכל חבורות ההומוטופיה - הן שוות זהותית.

שקילות הומוטופית חלשה ומשפט וייטהד

כאמור לעיל, חבורת הומוטופיה ספציפית נותנת מידע חלקי בלבד על המרחב. על כן, מגדירים יחס חלש יותר - שני מרחבים נקראים שקולים הומוטופית במובן החלש אם קיימת ביניהם העתקה $f:X\to Y$ , המכונה שקילות הומוטופית חלשה, כזו שלכל $n$ ההעתקה $f_{*}:\pi _{n}(X,a)\to \pi _{n}(Y,f(a))$ הנתונה על ידי $f_{*}(\phi )=f\circ \phi$ היא איזומורפיזם חבורות.

המשפט הבא הוא משפט חזק מאוד הנותן מידע מלא על טיפוס ההומוטופיה בעזרת חבורות ההומוטופיה:

משפט וייטהד^(אנ'): אם $f:X\to Y$ שקילות הומוטופית חלשה בין מרחבי CW קשירים מסילתית, אז $f$ היא שקילות הומוטופית בין המרחבים.

הדרישה שתהיה פונקציה $f$ אחת שמקיימת את תנאי המשפט היא הכרחית - גם אם כל החבורות איזומורפיות על ידי העתקות שונות, לא מובטחת שקילות הומוטופית.

מרחב אספרי ומרחב אילנברג-מקליין

מרחב אספרי (Aspherical space) הוא מרחב שכל חבורות ההומוטפיה $\pi _{n}(X,a)$ טריוויאליות עבור $n\geq 2$ . כל מרחב בעל מרחב כיסוי אוניברסלי כוויץ (למשל, טורוס) הוא מרחב אספרי. במרחבי CW גם ההפך נכון - מרחב CW הוא אספרי אם ורק אם מרחב כיסוי האוניברסלי שלו (שתמיד קיים) הוא מרחב כוויץ.

מינוח כללי יותר הוא מרחב אילנברג-מקליין - זהו מרחב בו יש רק חבורת הומוטופיה אחת לא טריוויאלית. לכל חבורה $\pi$ ומספר טבעי $n$ , מסמנים ב- $K(\pi ,n)$ מרחב אילנברג-מקליין בעל חבורת הומוטופיה $\pi$ מסדר $n$ . למשל, המעגל $S^{1}$ הוא $K(\mathbb {Z} ,1)$ , המרחב הפרויקטיבי הממשי האינסופי $\mathbb {R} P^{\infty }$ הוא מרחב $K(\mathbb {Z} _{2},1)$ . מרחב כזה לא תמיד קיים, אך משפט חשוב קובע כי לכל חבורה אבלית $\pi$ ולכל $n>1$ קיים מרחב $K(\pi ,n)$ יחיד כד כדי שקילות הומוטופית. בנייה זו נעשית על ידי מרחב מור ומערכת פוסטניקוב.

חישוב החבורות

חישוב חבורות ההומוטופיה בפועל הוא קשה, וגם חבורות ממד גבוה של מרחבים שנראים פשוטים אינן ידועות.

בניגוד לחבורה היסודית, עבורה יש שיטות חישוב שונות (הבולטות הן מרחבי כיסוי ומשפט ואן קמפן), או חבורות ההומולוגיה אותן ניתן לחשב אלגוריתמית במקרים רבים, אין שיטה כללית לחשב את חבורות ההומוטופיה, בשיטות כמו רדוקציה. חבורות ההומוטופיה היחסיות אגדי סיבים ^(אנ'), שהם הכללות של מרחבי כיסוי, נותנים מידע מועט ונקודתי מאוד.

בכל זאת, במהלך שנות השמונים פותחו שיטות שונות לחישוב חבורות ההומוטופיה. Graham Ellis ו- Roman Mikhailov הציגו שיטה תיאורתית לחשב את החבורות למרחבים מסוימים (לפרטים, ראו בקריאה נוספת).

משפט הורוויץ^(אנ') מקשר בין חבורות ההומולוגיה לחבורות ההומוטופיה במקרה של מרחבים n-קשירים.

מספר תוצאות

בעזרת כלים שונים מתורת ההומוטופיה, כמו חבורות ההומוטופיה היחסיות, קומפלקסים^(אנ'), אגדי סיבים ^(אנ') וכלים נוספים, ניתן להוכיח את התוצאות הבאות:

$\pi _{n}(S^{n},*)=\mathbb {Z}$
$\forall m<n:\pi _{m}(S^{n},*)=0$
$\forall m<2n-1:\pi _{m}(S^{n},*)\cong \pi _{m+1}(S^{n+1},*)$
$\pi _{3}(S^{2},*)=\mathbb {Z}$
המרחב הפרויקטיבי מעל הממשיים: $\pi _{m}(\mathbb {R} P^{n},*)=\pi _{m}(S^{n},*)$
המרחב הפרויקטיבי מעל המרוכבים : $\pi _{2}(\mathbb {C} P^{n},*)=\pi _{2}(S^{2n+1},*)\oplus \mathbb {Z} ;\forall m>2:\pi _{m}(\mathbb {C} P^{n},*)=\pi _{m}(S^{2n+1},*)$
המרחב הפרויקטיבי מעל הקווטרניונים: $\pi _{m}(\mathbb {H} P^{n},*)=\pi _{m}(S^{4n+3},*)\oplus \pi _{m-1}(S^{3},*)$
אם $X$ מרחב CW בעל עם תא אפס ממדי אחד (כלומר, קשיר מסילתית), ומכל שאר הממדים לפחות $n$ תאים, אז $\forall m<n:\pi _{m}(X,*)=0$ .