מרחב כוויץ

בטופולוגיה מרחב כוויץ (Contractible space) הוא מרחב טופולוגי השקול הומוטופית לנקודה. באופן אינטואיטיבי ניתן לדמיין מרחב כוויץ כמרחב אשר ניתן לכווץ לנקודה בודדת באופן רציף.

כל מרחב כוויץ הוא פשוט קשר וקשיר מסילתית.

הגדרה ואפיון

יהי $X$ מרחב טופולוגי. נאמר ש-$X$ כוויץ אם קיים איבר $x_{0}\in X$ וקיימת הומוטופיה $H:X\times [0,1]\rightarrow X$ כך ש-$\forall x\in X:H(x,0)=x,H(x,1)=x_{0}$.

להלן שני תנאים שקולים:

• $X$ כוויץ אם ורק אם פונקציית הזהות עליו הומוטופית להעתקה קבועה.

• $X$ כוויץ אם ורק אם הוא שקול הומוטופית למרחב טופולוגי עם נקודה אחת.

דוגמאות ותכונות

• $\mathbb {R} ^{n}$ הוא כוויץ כאשר n סופי. אם נוריד מהמרחב נקודה אחת, לדוגמה הראשית, הוא יפסיק להיות כוויץ.
• כל תחום כוכבי (ובפרט קבוצה קמורה) הוא כוויץ.
• כל ספירה מדרגה גדולה מאחת היא פשוטת קשר, אך לא ניתן לכווץ אותה לנקודה באופן רציף.
• נסג של מרחב כוויץ הוא מרחב כוויץ.
• כל ההעתקות מכל מרחב למרחב כוויץ הן הומוטופיות.
• בפרט, מרחב כוויץ הוא n-קשיר לכל $n\in \mathbb {N} _{0}$ טבעי או אפס. בפרט, הוא קשיר מסילתית (0-קשיר) ופשוט קשר (1-קשיר).
• כל ההעתקות ממרחב כוויץ למרחב קשיר מסילתית הומוטופיות זו לזו.

מרחב כוויץ מקומית

נאמר שמרחב טופולוגי הוא כוויץ מקומית (Locally contractible) אם לכל נקודה יש בסיס מקומי של מרחבים כוויצים. מרחביים כוויצים מקומית גם הם n-קשירים לכל n, ובפרט הם קשירים מקומית וקשירים מקומית מסילתית.

מרחב כוויץ איננו בהכרח כוויץ מקומית, וגם ההפך לא תמיד נכון.

ראו גם

• נסג עיוותי

קישורים חיצוניים

• מרחב כוויץ, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

26997303מרחב כוויץ