חבורות ההומוטופיה היחסיות

בתורת ההומוטופיה, חבורות ההומוטופיה היחסיות הן חבורות המותאמות אל מרחב טופולוגי ביחס לתת מרחב שלו, ונותנות מידע על ההומוטופיה של המרחב ביחס לתת המרחב. הן מכלילות את חבורות ההומוטופיה של מרחב, וקשורות אליהן בעזרת סדרה מדויקת הנותנת מידע על חבורות ההומוטופיה ועוזרת לחשבן.

הגדרה

הגדרה בעזרת מרחב הלולאות

יהי $X$ מרחב טופולוגי ויהיו $A,B\subseteq X$ תתי מרחבים. נסמן $I=[0,1]$.

נגדיר $\Omega (X,A,B)=\{\omega \in X^{I}:w(0)\in A,w(1)\in B\}$ - זהו מרחב הלולאות ב-$X$ שמתחילות בקבוצה $A$ומסתיימות ב-$B$. זהו תת-מרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה על $X^{I}$.

כעת, נגדיר: $\pi _{n}(X,A,*)=\pi _{n-1}(\Omega (X,A,*))$ - חבורת ההומוטופיה היחסית. מבנה זה הוא חבורה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 2} , וחבורה אבלית עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 3} (כי זה נכון עבור חבורות ההומוטופיה הרגילות מסדר אחד פחות). התאמה זו מהווה פונקטור קו-וריאנטי.

למשל, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2} נקבל ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_2(X,A,*)} היא החבורה של לולאות סגורות בלולאות שמתחילות בתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ומסתיימות בנקודה קבועה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle *} .

הגדרה בעזרת מחלקות הומוטופיה

ההגדרה לעיל נראית מעט לא טבעית, שכן לא נראה בבירור מה הקשר להומוטופיה של המרחב. על כן, נציב הגדרה שקולה.

נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J^{n-1} = \partial I^{n-1} \times I \cup I^{n-1} \times 0 \subset I^{n-1} \times I = I^n} - זוהי ההיפרקובייה שהוציאו ממנה את הפנים וגם את פנים אחת הפאות. נביט באוסף ההעתקות עד כדי שקילות הומוטופית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (I^{n},\partial I^n, J^{n-1}) \to (X,A,*)} - כלומר, העתקות מהקוביה למרחב, הממפות אתהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial I^n} לתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ואת $J^{n-1}$ לנקודה. את אוסף מחלקות השקילות נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(I^{n},\partial I^n, J^{n-1}),(X,A,*)]} . על אוסף זה מבנה טבעי של חבורה, בה הפעולה היא שרשור (כמו בחבורות ההומוטפיה), והיא נקראת חבורת ההומוטופיה היחסית.

זוהי הכללת הרעיון של הגדרת החבורה היסודית, ואכן כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=*} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_n(X,*,*) \cong \pi_n(X,*)} .

שרשרת מדויקת של חבורות הומוטופיה

חבורות ההומוטופיה היחסיות מהוות כלי לחישוב חבורות הומוטופיה מסוימות, ובכך מהוות מעין רדוקציה - ניתן לחשב את החבורות היחסיות ביחס לתת מרחב כלשהו, ואת חבורות ההומוטופיה של תת-המרחב, ובכך לקבל מידע על החבורות של המרחב כולו.

פורמלית, נביט בהעתקות ההכלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i:A \to X} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j:(X,*) \to (X,A)} . הן משרות העתקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_*: \pi_n(A,*) \to \pi_n(X,*)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j_*:\pi_n(X,*) \overset {\cong}{\leftrightarrow} \pi_n(X,*,*) \to \pi_n(X,A,*)} , ועל כן מתקבלת סדרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_n(A,*) \overset{i_*}{\longrightarrow} \pi_n(X,*) \overset{j_*}{\longrightarrow}\pi_n(X,A,*)}

כדי להשלים אותה לסדרת מדויקת שקושרת את כל חבורות ההומוטופיה, נצטרך להגדיר העתקה מקשרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_n(X,A,*) \to \pi_{n-1}(A,*)} . כדי לעשות זאת, נביט בהעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d:\Omega(X,A,*) \to A} הנתונה על ידי $d(\omega )=w(0)$. לפי ההגדרה הראשונה, העתקה זו משרה העתקה כדרוש לעיל על חבורות ההומוטופיה, אותה נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial = d_*} . לסיכום, מתקבלת סדרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_n(A,*) \overset{i_*}{\longrightarrow} \pi_n(X,*) \overset{j_*}{\longrightarrow}\pi_n(X,A,*) \overset{\partial}{\longrightarrow} \pi_{n-1}(A,*) \longrightarrow \dots \longrightarrow \pi_1(X,A,*) \longrightarrow \pi_0(A,*) \longrightarrow \pi_0(X,*)}

משפט: הסדרה לעיל היא סדרה מדויקת.

בעזרת סדרה מדויקת זו ניתן למצוא מספר חבורות בסיסיות, והיא טענה בסיסית וחשובה בתורת ההומוטופיה.

מסקנה לפיברציות סר

העתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi:E \to B} נקראת פיברציית סר, אם ניתן להרים הומוטופיות ביחס לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I^n} . למשל, כל אגד סיבים הוא פיברציית סר. עבור פיברציות סר מתקיימת הטענה הבאה:

משפט: תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi: E \to B} פיברציית סר, ועבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle * \in E} ניקח את הסיב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F= \pi^{-1}(\{\pi(*)\})} . אזי, ההעתקה המושרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_* : \pi_n(E,F,*) \to \pi_n(B,*)} היא איזומורפיזם.

כעת, אם נחזור לסדרה המדויקת ונשתמש בהתאמה הנ"ל, נקבל שרשרת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_n(F,*) \overset{i_*}{\longrightarrow} \pi_n(E,*) \overset{\pi_*}{\longrightarrow}\pi_n(B,*) \overset{\partial}{\longrightarrow} \pi_{n-1}(F,*) \longrightarrow \dots \longrightarrow \pi_1(B,*) \longrightarrow \pi_0(F,*) \longrightarrow \pi_0(E,*)}

לסדרה המתאימה לפיברציית סר (ובעיקר לאגד סיבים) שימושים רבים בחישוב חבורות ההומוטופיה, ובעיקר כאשר הסדרה מתפצלת, כמו בחישוב חבורות ההומוטופיה של מרחבים פרויקטיביים.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורות ההומוטופיה היחסיות27239871Q25489219