משפט ואן קמפן

בטופולוגיה אלגברית, משפט ואן קמפן (van Kampen theorem) הוא משפט המאפשר למצוא חבורה יסודית של מרחב טופולוגי באמצעות מכפלת היתוך של החבורות היסודיות של שתי תתי קבוצות פתוחות שלו, המקיימות תנאים מסוימים. זהו משפט יסודי וחשוב בטופולוגיה אלגברית, המהווה את אחד הכלים המרכזיים לחישוב חבורות יסודיות. בפרט, משתמשים בו כדי לחשב את החבורה היסודית של מרחבי CW.

השימוש במשפט בפועל דורש לעיתים הבנה גאומטרית עמוקה של האובייקטים אותם מעוניינים לחקור. הבנה זו והשימוש במשפט עוזרים בתחומים נוספים, כמו בהומולוגיה טופולוגית.

ניסוח

יהי $X$ מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, ויהיו $U_{1},U_{2}\subseteq X$ שתי תתי קבוצות פתוחות, המקיימות:

• $X=U_{1}\cup U_{2}$
• $U_{1}\cap U_{2}$ לא ריק וקשיר מסילתית.
• $U_{1},U_{2}$ קשירים מסילתית.

אזי החבורה היסודית $\pi _{1}(X)$ איזומורפית למכפלת ההיתוך

$\pi _{1}(U_{1}){\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}}{*}}\pi _{1}(U_{2})$

כאשר ההעתקות $i_{1},i_{2},j_{1},j_{2}$ הן הומומורפיזמי ההכלה היחסיים (למשל, $\forall \phi \in \pi _{1}(U\cap V):i_{1}(\phi )=i_{1}\circ \phi$).

הדיאגרמה הבאה ממחישה את שרטוט החבורות:

כאן $k$ הוא ההומומורפיזם הנובע מבניית מכפלת ההיתוך, וטענת המשפט היא שהוא איזומורפיזם.

שימושים

דוגמאות בסיסיות

• $n$-זר - זהו מרחב בו הולחמו $n$ מעגלים בנקודה משותפת. לוקחים את $U_{1}$ להיות כל הזר בלי איבר מהמעגל הראשון, ואת $U_{2}$ להיות המעגל הראשון וקצת מהמעגלים ליד (כדי שתהיה קבוצה פתוחה). החיתוך של כל שתי סביבות הוא מרחב כוויץ ולכן בעל חבורה יסודית טריוויאלית (ולכן אין משמעות להעתקות $i_{1},j_{1}$). לפי במשפט ואן קמפן ואינדוקציה, נובע כי החבורה היסודית היא $F_{n}$, חבורה חופשית ב-$n$ יוצרים.

• מישור פרויקטיבי $P$ - אחת ההצגות של המישור הפרויקטיבי היא בעזרת הדבקה של שפה של טבעת מביוס עם שפה של עיגול, כאשר ההדבקה היא של השפה. מהצגה זו ניתן לחשב את החבורה היסודית בעזרת משפט ואן קמפן - נבחר את $U_{1}$ להיות השפה של טבעת מביוס וקצת מהעיגול (כדי שתהיה פתוחה), ובדומה את $U_{2}$ להיות השפה של העיגול וקצת מהטבעת. החיתוך הוא הטבעת ולכן $\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})=\pi _{1}(S^{1})=F_{1}$, ל-$U_{1}$ יש נסג עיוותי לטבעת ולכן $\pi _{1}(U_{1})=\pi _{1}(S^{1})=F_{1}$, ול-$U_{2}$ יש נסג עיוותי לדיסק והוא בעל חבורה טריוויאלית. כעת, היות שמדובר בשפה של טבעת מוביוס, ההעתקה $i_{1}$ שולחת את היוצר (סיבוב אחד על המעגל) ליוצר בטבעת מביוס, שהוא שני סיבובים על המעגל, ולכן ההעתקה היא $i_{1}:a\mapsto a^{2}$. לכן, לפי הצגה על ידי יוצרים ויחסים של מכפלת היתוך, מקבלים:

$\pi _{1}(P)\cong F_{1}{\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{F_{1}}}{*}}\{1\}=\langle x\mid x^{2}\rangle =\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

• החבורה היסודית של סכום קשיר $n$ טורוסים, המסומן $nT$ היא:

$\pi _{1}(nT)\cong \langle a_{1},...,a_{2n}\mid [a_{1},a_{2}]\cdot ...\cdot [a_{2n-1},a_{2n}]\rangle$

כאשר $[\cdot ,\cdot ]$ הוא הקומוטטור. בפרט נובע כי האבליניזציה שלו היא חבורה אבלית חופשית ב-$2n$ יוצרים.

רואים זאת בעזרת משפט ואן קמפן - לוקחים את $U_{1}$ להיות דיסק על השפה, ואת $U_{2}$ להיות ה-$n$ טורוס בלי דיסק שיושב ממש בתוך $U_{1}$, כך שיש ביניהם טבעת חפיפה. אז $U_{1}$ כוויץ החיתוך שקול למעגל. הפענוח של $U_{2}$ הוא גאומטרי - לאחר הוצאת דיסק מהטורוס ניתן להרחיב את החור סביב הכיוונים האופקי והאנכי, ואז מקבלים מרחב השקול ל-$2n$ זר. ההעתקה שחשוב להבין היא מהשפה (מעגל) לתוך הזר - שיקולים גאומטריים מראים כי ההעתקה על יוצר של חבורת השפה היא $a\mapsto [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{n},b_{n}]$. מכאן החישוב נעשה ישירות לפי משפט ואן קמפן.

• באופן דומה לדוגמה הקודמת, החבורה היסודית של סכום קשיר של $n$ מישורים פרויקטיביים, המסומן $nP$, היא

$\pi _{1}(nP)\cong \langle a_{1},..,a_{n}\mid a_{1}^{2}\cdot ...\cdot a_{n}^{2}\rangle$

כדי לראות זאת פועלים באופן דומה: הוצאת דיסק מהמרחב מביאה מרחב השקול ל-$n$ זר של מעגלים (למעשה, של טבעות מביוס), והעתקה החשובה הפעם היא $a\mapsto a_{1}^{2}\cdot \dots \cdot a_{n}^{2}$.

מרחבי CW

ניתן להשתמש במשפט ואן קמפן כדי לקבוע מפורשות מהי החבורה היסודית של מרחבי CW. בפועל, החבורה נקבעת על ידי השלד ה-2-ממדי בלבד.

ראשית, נשים לב ששלד 1-ממדי הוא גרף; נניח כי זהו גרף קשיר (אחרת נחלק את המרחב המקורי למרכיבי הקשירות המסילתית שלו).

לכל גרף קשיר ניתן למצוא עץ פורש. כל עץ הוא כוויץ, ולכן הוא פשוט קשר. נראה, בעזרת משפט ואן-קמפן, כי כל צלע שנוספת על העץ הפורש נותנת עוד יוצר חופשי לחבורה היסודית: יהי $U_{1}$ המסלול עד הצלע שנוספה ובחזרה עד השורש, $U_{2}$ הוא אותו מסלול רק בלי הצלע שנוספה. אז $U_{1}\cap U_{2}=U_{2}$ שניהם פשוטי קשר, ו-$U_{1}\cong S^{1}$ ולכן החבורה היא $F_{1}{\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{\{1\}}}{*}}\{1\}=F_{1}$. לכן באינדוקציה, החבורה היסודית של עץ שנוספו לו $t$ צלעות היא $F_{t}$.

בפרט, אם בגרף (הקשיר) יש $d_{0}$ קדקודים ו-$d_{1}$ צלעות, בעץ פורש שלו יהיו $d_{0}-1$ צלעות, ולכן החבורה היסודית שלו היא $F_{d_{1}-d_{0}+1}$.

כעת, נעבור בבנייה של מרחבי CW לשלד ה-2 ממדי. בכל שלב, מדביקים את השפה של דיסק לפי העתקות ההדבקה ממבנה ה-CW. כדי למצוא את החבורה היסודית אחרי ההדבקה, נעזר שוב במשפט ואן קמפן - נסמן ב-$U_{1}$ את המרחב שהתקבל עד כה, יחד עם חלק מהדיסק, ואת $U_{2}$ להיות הדיסק יחד עם קצת מהמרחב שהתקבל עד כה. אזי החיתוך הוא טבעת, כלומר $S^{1}$, המרחב הראשון הוא בעל נסג עיוותי למה שהיה קודם, והמרחב השני הוא בעל נסג עיוותי לדיסק, שהוא פשוט קשר. לכן לפי משפט ואן קמפן, נקבל כי אחרי ההדבקה החבורה היא $\{1\}{\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{\{F_{1}\}}}{*}}\pi _{1}(U_{1})$, כאשר ההעתקה $i_{2}$ מוסיפה את היחסים שבאים מהעתקות ההדבקה.

כעת, נראה שזה מספיק - כאשר נדביק כדורים מממדים גבוהים יותר, החיתוך יהיה $S^{n},n\geq 2$ שהוא פשוט קשר, ולכן החבורה היסודית תישאר כמו קודם.

דוגמה

כדי להמחיש את הבנייה, נביט במבנה CW עם $d_{0}=d_{1}=d_{2}=1$, כלומר הגרף הוא עיגול ולכן בעל חבורה $F_{1}$, ואת ההדבקה של הדיסק ניקח להיות הדבקה ששולחת סיבוב אחד על שפת הדיסק ל-$m$ סיבובים על הגרף. אז היחס הנובע מההדבקה הוא $x^{m}$, ולכן החבורה היסודית היא $F_{1}$ בתוספת היחס, כלומר $\langle x\mid x^{m}\rangle =\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$.

לכל חבורה מתאים מרחב CW

הבנייה של החבורה היסודית של מרחב CW מאפשר להסיק שלכל חבורה (גם לא נוצרת סופית) יש מרחב CW שהיא החבורה היסודית שלו. כדי לראות זאת, ניקח הצגה של החבורה. את השלד ה-1 ממדי במבנה ה-CW ניקח להיות גרף עם כמות מעגלים ככמות היוצרים. לכל יחס בחבורה, נוסיף דיסק שישרה את היחס הזה. לפי הבנייה לעיל נקבל כי החבורה היסודית היא בדיוק החבורה שלקחנו.

ראו גם

• מכפלת היתוך
• מרחבי CW