מרחב פשוט קשר

בטופולוגיה, מרחב פשוט קשר הוא מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, שבו אפשר לכווץ כל לולאה סגורה לנקודה אחת, באופן רציף. זוהי הדרך הפורמלית לנסח את הדרישה שבמרחב לא יהיו חורים שאפשר לאתר אותם באמצעים חד-ממדיים. מרחבים כאלה הם מן העצמים היסודיים בטופולוגיה אלגברית.

הספרה היא דוגמה למרחב פשוט קשר מכיוון שניתן לכווץ כל לולאה לנקודה באופן רציף.

הגדרה

מרחב טופולוגי הוא פשוט קשר אם כל לולאה רציפה במרחב הומוטופית לאפס. כלומר, כל פונקציה רציפה $\ S^{1}\rightarrow X$ אפשר להרחיב לפונקציה רציפה $\ D^{2}\rightarrow X$ (כאשר $D^{2}=\{(s,t)\in \mathbb {R} ^{2}\mid s^{2}+t^{2}\leq 1\}$ הוא עיגול היחידה). מן ההגדרה נובע שמרחב קשיר הוא פשוט קשר אם ורק אם החבורה היסודית $\pi _{1}(X)$ היא טריוויאלית.

דוגמאות

הטורוס אינו פשוט קשר. ניתן לראות שבלתי אפשרי לכווץ באופן רציף את הלולאות בתמונה לנקודה

המישור האוקלידי הוא פשוט קשר, משום שכל לולאה אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה אחת. לעומת זאת, אם מוציאים מן המישור נקודה אחת, הוא מפסיק להיות פשוט קשר - את המסילה המקיפה את הנקודה החסרה אי אפשר לכווץ. כזה הוא המצב כל עוד הקבוצה שמוציאים היא חסומה. אם מוציאים ממישור קרן, התוצאה היא שוב מרחב פשוט קשר, מכיוון שאי אפשר להקיף את הקרן החסרה בלולאה שתאבחן את חסרונה. אם מוציאים מהמישור ישר שלם, הוא מתפרק לשני מרכיבי קשירות, שכל אחד מהם פשוט קשר.

הכדור התלת-ממדי הוא פשוט קשר. אם עושים בו גומה, הוא נותר פשוט קשר, אלא אם הגומה הופכת לחור מפולש העובר בכדור מצד לצד. במקרה כזה אפשר, כמקודם, לעטוף את החור בלולאה שלא ניתן לכווץ לנקודה. אם מוציאים מכדור את הליבה שלו, שצורתה גם היא כדורית, מתקבל מרחב פשוט קשר - את החור שנוצר אי אפשר לאתר באמצעים חד-ממדיים (כאן נדרשת חבורת ההומולוגיה השנייה, $\ H^{2}$).

הטורוס, טבעת מביוס ובקבוק קליין הם דוגמאות למרחבים שאינם פשוטי קשר.

תכונות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

תנאי הכרחי לכך שמרחב יהיה פשוט קשר הוא שהמרחב יהיה קשיר מסילתית, ובפרט קשיר. במרחבים שאינם קשירים מסילתית, ניתן לבדוק בנפרד האם כל רכיב קשירות מסילתית הוא פשוט קשר בפני עצמו.

הכיסוי האוניברסלי

למרחבים טופולוגיים מסוימים (ובהם כל היריעות) קיים מרחב כיסוי אוניברסלי, שהוא מרחב קשיר מסילתית ופשוט קשר, המכסה אותם באופן נוח במיוחד. מרחבים כאלה אפשר לתאר כמרחבי מנה של מרחב הכיסוי, ביחס לחבורה היסודית. מן ההגדרה נובע מיד שהחבורה היסודית של מרחב פשוט קשר היא טריוויאלית.