חבורה פתירה
בתורת החבורות, חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית סופית שכל הגורמים בה אבליים. מקורו של השם בתורת גלואה: אפשר לפתור משוואה פולינומית באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש (פתרון על ידי רדיקלים), אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום היא חבורה פתירה.
כל חבורה נילפוטנטית (ובפרט, כל חבורה אבלית וכל חבורת p) היא פתירה. מאידך, חבורה פתירה נוצרת סופית שבה כל נגזרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ad}_y : x \mapsto [x,y]} היא נילפוטנטית ("תנאי אנגל"), היא נילפוטנטית[1].
מבוא
אחד הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות הוא שאפשר ללמוד חבורה באמצעות תת-חבורה נורמלית וחבורת המנה ביחס אליה. כשממשיכים ללמוד כל אחד משני הגורמים האלה באותו אופן, מגיעים לפירוק ל"גורמי הרכב", באמצעות סדרת הרכב (ומשפט ז'ורדן-הולדר). מגורמי ההרכב ומידע על האינטראקציות ביניהם אפשר, בעקרון, לבנות בחזרה את החבורה. חבורה שכל גורמי ההרכב שלה אבליים, נקראת חבורה פתירה. מאידך, לחבורה שאינה פתירה יש גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.
הגדרה
התכונות הבאות משמשות הגדרות שקולות לכך שהחבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} פתירה:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} ציקלית, או שיש לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} , כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G/N} שתיהן פתירות.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} ציקלית או שיש לה סדרה נורמלית (לא טריוויאלית) שהגורמים שלה הם חבורות פתירות.
- קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} טבעי כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{(n)}=1 } (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{(n)}} תת חבורת הנגזרת מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .)
- (כאשר החבורה סופית) יש לחבורה סדרת הרכב שגורמיה חבורות ציקליות.
אוסף החבורות הפתירות סגור לכמה פעולות יסודיות: כל תת-חבורה (אפילו אינה נורמלית) וכל חבורת מנה של חבורה פתירה הן פתירות; ולהפך, כל הרחבה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה. בפרט, המכפלה הישרה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה. למעשה, אוסף החבורות הפתירות הוא האוסף הקטן ביותר של חבורות הכולל את החבורות האבליות וסגור להרחבות.
כל החבורות שסדרן קטן מ-120 הן פתירות, פרט לחבורת התמורות הזוגיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_5} , שהיא חבורה פשוטה מסדר 60.
ב-1968 הוכיח תומפסון (Thompson) שאם כל תת-חבורה של חבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} הנוצרת על ידי שני איברים היא פתירה, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} עצמה פתירה. ההוכחה מבוססת על מיון החבורות הפשוטות שכל תת-חבורה שלהן הנוצרת על ידי שני איברים היא פתירה.
פתירות וחבורת הנגזרת
בחבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} אפשר להגדיר סדרה של תת-חבורות נורמליות, לפי הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}]} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{(1)}=G} . מכיוון ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{(n+1)}} היא תת-חבורת הקומוטטורים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{(n)}} , המנות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{(n)}/G^{(n+1)}} כולן אבליות, ובמקרה שהן נוצרות סופית, אפשר להציג אותן כסכום ישר של חבורות ציקליות. אם משמיטים את המרכיבים המפותלים מתקבלת חבורה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}^{a_n}} . הסכום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0+a_1+\cdots\ } נקרא דרגת הירש של החבורה. אם לשתי חבורות פתירות נוצרות סופית יש גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים, אז יש להן אותה דרגת הירש.
אם תת-חבורת הקומוטטורים אבלית (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G'' = 1} ), החבורה נקראת מטא-אבלית; כל חבורה כזו היא כמובן פתירה. חבורות מטא-אבליות נוצרות סופית אינן בהכרח בעלות ייצוג סופי; עם זאת, אפשר להציג אותן כמודול נוצר סופית מעל החוג הקומוטטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}[G/G']} . חבורות מטא-אבליות נוצרות סופית הן residually finite, ומקיימות את תנאי השרשרת העולה (דבר שאינו נכון לחבורות פתירות ממחלקה גבוהה יותר). הירש הוכיח שכל חבורה פתירה נוצרת סופית המקיימת את תנאי השרשרת העולה היא חבורה פולי-ציקלית.
קישורים חיצוניים
- חבורה פתירה, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
- ^ Gruenberg, K. W.Two theorems on Engel groups, Proc. Cambridge Philos. Soc. 49, (1953). 377–380
