סדרה נורמלית

בתורת החבורות, סדרה נורמלית של חבורה $$ G $$ היא שרשרת של תת-חבורות, שכל אחת היא תת-חבורה נורמלית של קודמתה. כלומר: $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \cdots \triangleright G_{k}$ , כאשר $\triangleright$ מסמן שמדובר בתת-חבורה נורמלית.

הערה: יש המגדירים סדרה נורמלית של חבורה $$ G $$ כשרשרת של תת-חבורות, שכל אחת היא תת-חבורה נורמלית של $$ G $$ , ואז שרשרת של תת-חבורות שכל אחת היא תת-חבורה נורמלית של קודמתה נקראת סדרה תת-נורמלית.

גורמי הסדרה הם כל חבורות המנה מהצורה $G_{i}/G_{i+1}$ .

עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה $$ L $$ שמקיימת $G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}$ , כאשר $G_{i}\neq L\neq G_{i+1}$ . במקרה זה הסדרה $G=G_{0}\triangleright \cdots \triangleright G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}\triangleright G_{k}$ היא עידון של הסדרה המקורית.

סדרת הרכב

סדרת הרכב של חבורה $$ G $$ היא סדרה נורמלית שמסתיימת ב- $\{e\}$ ולא ניתן לעדן אותה מבלי להוסיף חזרות. ניתן לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם היא נגמרת ב- $\{e\}$ וכל הגורמים שלה חבורות פשוטות.

החשיבות הרבה של סדרות ההרכב נעוצה בעובדה שגורמי ההרכב של כל חבורה סופית $$ G $$ הם קבועים עד כדי איזומורפיזם והחלפת סדר, ואינם תלויים בסדרת ההרכב (ראו משפט ז'ורדן-הלדר).

חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית עם גורמים אבליים; לחבורה שאינה פתירה יש תמיד סדרת הרכב עם גורם שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.