מכפלה ישרה

במתמטיקה, מכפלה ישרה היא אובייקט מתמטי המורכב מכמה אובייקטים מאותו סוג ללא "הפרעות" הדדיות ביניהם. כאשר מכפילים מספר סופי של אובייקטים, המכפלה הישרה זהה לסכום הישר, אבל כאשר מדובר במספר אינסופי של אובייקטים המכפלה הישרה גדולה ומסובכת יותר; אפילו ההנחה שיש בה איברים תלויה באקסיומת הבחירה.

אפשר להגדיר מכפלה ישרה של מבנים אלגבריים כמו מרחבים וקטוריים או מודולים, של קבוצות סדורות, ועוד. המכפלה הישרה של מרחבים טופולוגיים נקראת "מרחב מכפלה".

אם $M_{i}$ הם אובייקטים מאותו סוג לכל $i\in I$ , כאשר $I$ היא קבוצת אינדקסים, אז המכפלה הישרה היא המכפלה הקרטזית $\prod _{i\in I}M_{i}$ , כלומר קבוצת הפונקציות $f\colon I\to \bigcup _{i\in I}M_{i}$ כך ש- $f(i)\in M_{i}$ לכל $i\in I$ . לעומת זאת, בסכום הישר כוללים רק את הפונקציות שכמעט כל הערכים שלהן טריוויאליים, במובן המתאים לסוג האובייקט. להמחשת ההבדל, המכפלה הישרה $\mathbb {Z} ^{\omega }$ של $\ \aleph _{0}$ עותקים של $\ \mathbb {Z}$ אינה חבורה אבלית חופשית^[1] (אבל תת-החבורה של הסדרות החסומות היא חופשית^[2]).

הגדרה קטגורית

בתורת הקטגוריות, המכפלה הישרה של אובייקטים $A_{i}$ בקטגוריה, היא אובייקט $B=\prod A_{i}$ , עם מורפיזמים ("היטלים") $\pi _{i}\colon B\to A_{i}$ , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט $C$ בקטגוריה עם מורפיזמים $f_{i}\colon C\to A_{i}$ , קיים מורפיזם יחיד $f\colon C\to B$ כך ש- $f_{i}=\pi _{i}\circ f$ .

הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים $A_{i}$ , הוא אובייקט $B=\coprod A_{i}$ , עם מורפיזמים $\iota _{i}\colon A_{i}\to B$ , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט $C$ בקטגוריה עם מורפיזמים $f_{i}\colon A_{i}\to C$ , קיים מורפיזם יחיד $f\colon B\to C$ כך ש- $f_{i}=f\circ \iota _{i}$ . אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.