חבורה מפותלת

בתורת החבורות, חבורה מפותלת (מאנגלית: Torsion Group) הנה חבורה בה לכל איבר יש סדר סופי. כל חבורה סופית הנה מפותלת, אך קיימות גם חבורות אינסופיות מפותלות.

בעיית ברנסייד עוסקות בחבורות מפותלות נוצרות סופית. בעיות נוספות בנושא זה הנן אודות מציאת חסמים לסדרים ולאקספוננט של חבורות מוכרות.

הגדרה

חבורה $G$ נקראת מפותלת אם אין לה איברים מסדר אינסופי. כלומר, לכל $g\in G$ קיים $n\in \mathbb {N}$ כך ש-$g^{n}=1_{G}$.

עבור חבורה מפותלת, מגדירים את האקספוננט בתור הכפולה המשותפת המינימלית של סדרי האיברים בחבורה. האקספוננט יכול להיות אינסוף; במקרה והוא סופי, זהו המספר הנמוך ביותר $d$ המקיים $g^{d}=1_{G}$ לכל $g\in G$.

לכל חבורה אבלית $G$, מגדירים את תת-החבורה המפותלת שלה, בתור תת-החבורה המכילה את כל האיברים מסדר סופי. חבורה היא חסרת פיתול אם תת-החבורה המפותלת שלה טריוויאלית.

דוגמאות

• כל חבורה סופית היא מפותלת; האקספוננט שלה מחלק את סדר החבורה.
• חבורת המנה $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$.
• כל חבורת פרופר הנה חבורת פיתול אינסופית.
• החבורה הדיהדרלית האינסופית.
• חבורת בראוור של כל שדה (ואפילו חוג קומוטטיבי) הנה חבורת פיתול.

ראו גם

• אקספוננט של חבורה
• חבורה חסרת פיתול