השורש הריבועי של 3
השורש הריבועי של 3, אשר מסומן כ- או 31/2, הוא המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-3. השורש הריבועי של 3 הוא מספר אי רציונלי. הוא ידוע גם בתור הקבוע של תיאודורוס, על שם תיאודורוס מקירנה, שהוכיח את האי-רציונליות שלו.
נכון לדצמבר 2013, חושבו 10 מיליארד ספרות של .[1] 65 הספרות הראשונות של :
- 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806
הספרות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{3}} הן סדרה A002194, באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.
השבר9756 (1.732142857...) הוא קירוב לשורש - הוא שונה מהערך הנכון בפחות מ-110,000 (בערךהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9.2\times 10^{-5}} ).
השבר 716035413403 (1.732 050 807 56...) הוא מדויק בכ-1100000000000 (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{10^{11}}} ).
ארכימדס חישב טווח עבור הערך של השורש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left ( \frac{1351}{780} \right )^{2} > 3 >\left ( \frac{265}{153} \right )^{2}} ;[2] הגבול התחתון מדויק עבור 1608400 (6 ספרות אחרי הנקודה) והגבול העליון עבור 223409 (4 ספרות אחרי הנקודה).
ביטויים
ניתן לבטא אותו כשבר משולב [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (סדרה A040001, באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).
ולכן ניתן לומר כי:
וכאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\to\infty} :
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 }
ניתן לבטא אותו גם כשבר משולב מוכלל כגון:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}}
גיאומטריה וטריגונומטריה
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Square_root_of_3_in_cube.svg/langhe-300px-Square_root_of_3_in_cube.svg.png)
ניתן למצוא את השורש הריבועי של 3 כאורך הצלעות של משולש שווה-צלעות החוסם מעגל בקוטר 1.
אם משולש שווה-צלעות בעל צלעות באורך 1 נחתך לשני חצאים שווים, על ידי חציית זווית פנימית כדי ליצור זווית ישרה עם הצלע שמולה, היתר של המשולש ישר-הזווית הוא באורך 1 ואורכן של הצלעות הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac12} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}} . מכאן, טנגנס של 60° שווה ל-, והסינוס של 60° והקוסינוס של 30° שווים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}} .
השורש הריבועי של 3 מופיע גם בביטויים אלגבריים עבור קבועים טריגונומטריים אחרים, כולל[3] הסינוסים של 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° ו-87°.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{3}} הוא המרחק בין צלעות מקבילות של משושה משוכלל בעל צלעות באורך 1.
זהו אורך האלכסון הפנימי של קוביית יחידה.
לווסיקה פיסקיס יש יחס בין הציר העיקרי לציר הקטן השווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt3} :1. ניתן להראות זאת על ידי בניית שני משולשים שווי-צלעות בתוכו.
שימושים אחרים
הנדסת הספק
בהנדסת הספק, המתח בין שתי פאזות במערכת תלת-פאזית הוא פי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt3} מהמתח לקו הנייטרלי. הסיבה לכך היא שכל שתי פאזות נמצאות במרחק של 120° זה מזה, ושתי נקודות במעגל המרוחקות 120 מעלות זו מזו מופרדות במרחק שגדול פי מהרדיוס.
ראו גם
הערות שוליים
- ^ Łukasz Komsta. "Computations | Łukasz Komsta". komsta.net. נבדק ב-24 בספטמבר 2016.
{{cite web}}
: (עזרה) - ^ Knorr, Wilbur R. (1976), "Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation", Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462, S2CID 120954547.
- ^ Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds
קישורים חיצוניים
- S., D.; Jones, M. F. (1968). "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100". Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
- Uhler, H. S. (1951). "Approximations exceeding 1300 decimals for הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{3}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(\frac{\pi}{3})} and distribution of digits in them". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
- Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Revised ed.). London: Penguin Group. p. 23.
- Archimedes and the Square Root of 3
- Department of Mathematics | King’s College London
מספרים אי-רציונליים נודעים | ||
---|---|---|
מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δAg • היחס הפלסטי 𝜌 | ![]() |
מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל | |
מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים |
קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין | |
טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים |