קבוע ארדש-בורוויין

קבוע ארדש-בורוויין (על שם המתמטיקאים פאול ארדש ופיטר בורוויין) הוא סכום המספרים ההופכיים של מספרי מרסן.

לפי הגדרתו, קבוע ארדש-בורוויין הוא

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1.606695152415291763\ldots$

קבוע ארדש-בורוויין ניתן להצגה גם בצורות הבאות:

${\begin{aligned}E&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}\\&=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}\end{aligned}}$

כאשר $\sigma _{0}(n)$ היא פונקציית המחלקים הסופרת את מספר המחלקים של $n$ . ארדש הראה ב-1948 כי הקבוע הוא מספר אי-רציונלי.