קבוע גאוס

במתמטיקה, קבוע גאוס (מצוין באות G) מוגדר כהופכי של הממוצע האריתמטי-גאומטרי של 1 והשורש הריבועי של 2:

$G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .$

הקבוע נקרא על שמו של קרל פרידריך גאוס, אשר גילה ב-30 במאי 1799 כי:

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

כך שמתקיים:

$G={\frac {1}{2\pi }}\beta \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)$

כאשר β מציינת את פונקציית בטא.

טרנסצנדנטיות

קבוע גאוס יכול לשמש להצגת פונקציית גמא עבור הארגומנט ¼:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}

כיוון ש-$\pi$ ו-$\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ הם בלתי תלויים אלגברית קבוע גאוס הוא מספר טרנסצנדנטי.

ייצוגים אחרים

ניתן להציג את קבוע גאוס באמצעות פונקציית תטא של יעקובי באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi}) }

ניתן להציגו גם כסדרה מתכנסת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.}

וכן כמכפלה אינסופית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).}

ייצוגים נוספים של קבוע גאוס באמצעות אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות ופונקציות היפרבוליות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin(x)} \,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos(x)} \,\mathrm{d}x }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\frac{1}{G}} = \int_0^{\infty}{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\cosh(\pi x)}}} }

קישורים חיצוניים

• קבוע גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)
• קבוע גאוס, באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28842900קבוע גאוס