קבוע אפרי

במתמטיקה, קבוע אפרי הוא הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה 3, כלומר המספר

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.20205\ldots$

הקבוע נקרא על שם רוז'ה אפרי (1916‏-1994) אשר בשנת 1978 הוכיח כי הוא אי־רציונלי.

רקע

ב-1735 פתר לאונרד אוילר את בעיית בזל והוכיח כי $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ . אוילר אף הגדיל לעשות והראה כי $\zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}$ , כאשר $B_{k}$ הוא מספר ברנולי ה-$k$ . מכיוון שפאי הוא מספר טרנסצנדנטי, תוצאתו של אוילר מראה שכל ערכי פונקציית זטא במספרים טבעיים זוגיים הם מספרים טרנסצנדנטיים (ובפרט אי־רציונליים).

לעומת זאת, לא נמצאה דרך דומה לחשב את ערכי פונקציית זטא בנקודות אי־זוגיות, והשאלה האם ערכים אלו אי־רציונליים נותרה פתוחה ב-200 השנים הבאות.

ב-1978 הציג רוז'ה אפרי, מתמטיקאי מבוגר ואלמוני למדי דאז, הוכחה מפתיעה לכך ש-$\zeta (3)$ אי־רציונלי. מאז הקבוע נקרא על שמו. משערים שקבוע אפרי הוא מספר טרנסנצנדטי, אך טענה זו טרם זכתה להוכחה.

ההוכחה של אפרי

ההוכחה של אפרי לאי־רציונליות של $\zeta (3)$ נחשבת לטכנית ו"אד הוקית" למדי.

ההוכחה מסתמכת על משפט ידוע של דיריכלה הקובע שמספר רציונלי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר העולה על 1. אפרי מצא טור של מספרים רציונליים המתכנס ל-$\zeta (3)$ מהר מספיק כדי לייצר קירוב דיופנטי מסדר העולה על 1.

ערכי פונקציית זטא בנקודות אי־זוגיות נוספות

ניסיון להשתמש בשיטה של אפרי במטרה להוכיח שערכים נוספים של פונקציית זטא בנקודות אי־זוגיות גם הם אי־רציונליים נחל כישלון. זאת על אף שמשערים שכל הערכים הם אי־רציונליים.

Wadim Zudilin הוכיח בתחילת שנות ה־2000 שקיימים אינסוף ערכים אי-רציונליים של פונקציית זטא בנקודות אי־זוגיות, ושלפחות אחד מבין ערכי הפונקציה בנקודות 5, 7, 9, 11 הוא אי־רציונלי.