אינטגרל הנסטוק

במתמטיקה, אינטגרל הנסטוק הוא הגדרה אפשרית לאינטגרל של פונקציה, המהווה הכללה להגדרה של אינטגרל רימן וכן בשימושים מסוימים יעיל יותר מאינטגרל לבג.

הגדרה

ההגדרה של אינטגרל הנסטוק כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן (ולכן פשוטה בהרבה מזו של אינטגרל לבג), ונקבעת כך:

תהי פונקציה ממשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:[a,b]\to\R} ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} חלוקה מסומנת של הקטע, נניח:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=u_0<u_1<\cdots<u_n=b,\ t_i\in[u_{i-1},u_i]}

נגדיר את סכום רימן של החלוקה להיות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_Pf=\sum_{i=1}^n(u_i-u_{i-1})f(t_i)}

$I$ הוא ערך האינטגרל של $f$ בקטע, אם ורק אם לכל $\varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}$ קיימת פונקציה $\delta :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ כך שלכל חלוקה מסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} המקיימת

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall i:u_i-u_{i-1}<\delta(t_i)}

מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big|\sum_Pf-I\Big|<\varepsilon}

ואז נגיד גם כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אינטגרבילית בקטע לפי הנסטוק.

תכונות

קל לראות שהגדרה זו כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן, למעשה אם דורשים שהפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} תהיה קבועה, מקבלים את אינטגרל רימן כפי שהוא. מה שמראה בקלות שכל פונקציה אינטגרבילית רימן גם אינטגרבילית הנסטוק (נקח דלתא כפונקציה קבועה).

ניתן להראות גם שאין צורך בהגדרה מיוחדת ל"אינטגרלים לא-אמיתיים" בקטע סופי – כל פונקציה אינטגרבילית (באופן לא-אמיתי) רימן בקטע, אינטגרבילית (כרגיל) הנסטוק, וערך האינטגרלים זהה.

מעבר לכך – הגדרה זו גם מכלילה את זו של אינטגרל לבג. למעשה – פונקציה אינטגרבילית לבג אם ורק אם היא אינטגרבילית הנסטוק וגם הרכבת הערך המוחלט עליה אינטגרבילית הנסטוק.

תכונה חשובה נוספת של אינטגרל הנסטוק הוא הקשר למשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי:

תהי פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} גזירה בכל מקום ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} . אזי

$f(x)-f(a)=\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt$