אינטגרל הנסטוק

במתמטיקה, אינטגרל הנסטוק הוא הגדרה אפשרית לאינטגרל של פונקציה, המהווה הכללה להגדרה של אינטגרל רימן וכן בשימושים מסוימים יעיל יותר מאינטגרל לבג.

הגדרה

ההגדרה של אינטגרל הנסטוק כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן (ולכן פשוטה בהרבה מזו של אינטגרל לבג), ונקבעת כך:

תהי פונקציה ממשית $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ותהי $P$ חלוקה מסומנת של הקטע, נניח:

$a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b,\ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]$

נגדיר את סכום רימן של החלוקה להיות: $\sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}-u_{i-1})f(t_{i})$

$I$ הוא ערך האינטגרל של $f$ בקטע, אם ורק אם לכל $\varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}$ קיימת פונקציה $\delta :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ כך שלכל חלוקה מסומנת $P$ המקיימת

$\forall i:u_{i}-u_{i-1}<\delta (t_{i})$

מתקיים:

${\Big |}\sum _{P}f-I{\Big |}<\varepsilon$

ואז נגיד גם כי $f$ אינטגרבילית בקטע לפי הנסטוק.

תכונות

קל לראות שהגדרה זו כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן, למעשה אם דורשים שהפונקציה $\delta$ תהיה קבועה, מקבלים את אינטגרל רימן כפי שהוא. מה שמראה בקלות שכל פונקציה אינטגרבילית רימן גם אינטגרבילית הנסטוק (נקח דלתא כפונקציה קבועה).

ניתן להראות גם שאין צורך בהגדרה מיוחדת ל"אינטגרלים לא-אמיתיים" בקטע סופי – כל פונקציה אינטגרבילית (באופן לא-אמיתי) רימן בקטע, אינטגרבילית (כרגיל) הנסטוק, וערך האינטגרלים זהה.

מעבר לכך – הגדרה זו גם מכלילה את זו של אינטגרל לבג. למעשה – פונקציה אינטגרבילית לבג אם ורק אם היא אינטגרבילית הנסטוק וגם הרכבת הערך המוחלט עליה אינטגרבילית הנסטוק.

תכונה חשובה נוספת של אינטגרל הנסטוק הוא הקשר למשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי:

תהי פונקציה $f$ גזירה בכל מקום ב-$[a,b]$ . אזי

$f(x)-f(a)=\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt$