שיכון סגרה

שיכון סגרה (Segre embedding) או העתקת סגרה (Segre map) היא שיכון סגור של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים במרחב פרויקטיבי (מממד גדול יותר). קיום שיכון כזה מוכיח כי מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא יריעה פרויקטיבית. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות מבלי להצטרך להגדיר את מושג היריעה האלגברית באופן כללי, ולהסתפק במושג היריעה הפרויקטיבית.

רקע ומוטיבציה

מרחב פרויקטיבי הוא אוסף הישרים העוברים דרך הראשית במרחב לינארי. יריעה פרויקטיבית היא תת-קבוצה סגורה זריצקי של מרחב פרויקטיבי, זאת-אומרת קבוצה המתוארת על ידי מספר משוואות פולינומיות הומוגניות. יריעה קווזי-פרויקטיבית היא תת-קבוצה פתוחה זריצקי של יריעה פרויקטיבית. זאת-אומרת יריעה פרויקטיבית שהציאו ממנה תת-יריעה פרויקטיבית. יריעות קווזי-פרויקטיבית מהוות מחלקה רחבה מאד של יריעות שכוללת בין השאר את היריעות האפיניות. זמן רב הגאומטריה האלגברית דנה רק בהן, וגם היום חלק נכר ממנה מוקדש להן.

אולם האילוץ להיות תת-קבוצה של מרחב פרויקטיבי הוא לא תמיד טבעי, כדי להימנע מאילוץ זה הוגדרו היריעות האלגבריות הכלליות. באופן אינטואיטיבי יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אפינית. ההגדרה הפורמלית של יריעה אלגברית מורכבת למדי, ולכן במיקרים רבים נמנעים מלתת אתה. גישה זאת גובה מחיר מסוים. למשל, בלי מושג היריעה האלגברית לא ברור איך להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות או אפילו של מרחבים פרויקטיבים. לשם כך נועד שיכון סגרה.

שיכון סגרה מאפשר לשכן מכפלה של מרחבים פרויקטיבים במרחב פרויקטיבי מממד גדול יותר ובכך הופך את המכפלה ליריעה פרויקטיבית. באופן דומה בעזרת שיכון סגרה ניתן לראות כ מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא פרויקטיבית ושל יריעות קווזי-פרויקטיביות היא קווזי-פרויקטיבית. למעשה, במונחים של גאומטריה אלגברית, לפני הגדרת מושג היריעה האלגברית, ניתן היה להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות (או קווזי-פרויקטיביות) רק באמצעות שיכון סגרה.

גם היום שיכון סגרה שימושי, מכיוון שתכונות מסוימת של יריעות פרויקטיביות (וקווזי-פרויקטיביות) לא תקפות ליריעות כלליות. כמו כן הוא משמש לבניית דוגמת של יריעות אלגבריות. לעומת זאת, מבחינה חישובית, שיכון סגרה שימושי רק בממדים קטנים, כי הוא מעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי, והמעלה של התמונה שלו (בתור תת-יריעה) גבוהה.

שיכון סגרה מאפשר להראות כי המרחבים הפרויקטיביים הם מופרדים (separated). זאת מפני שהשיכון מציג הלכה למעשה את האלכסון של מרחב פרויקטיבי בתור תת-יריעה סגורה של המכפלה, היא מרחב סגרה.

הגדרה

יהי k שדה סגור אלגברית. יהיו $\mathbb {P} _{k}^{n}$ ו-$\mathbb {P} _{k}^{m}$ המרחבים הפרויקטיבים מממדים n ו-m בהתאמה. נגדיר את העתקת סגרה:

${\begin{array}{rcl}s_{n,m}:\mathbb {P} _{k}^{n}\times \mathbb {P} _{k}^{m}&\longrightarrow &\mathbb {P} _{k}^{(n+1)(m+1)-1}\\\left((x_{0}:...:x_{n}),(y_{0}:...:y_{m})\right)&\longmapsto &(x_{0}y_{0}:x_{0}y_{1}:...:x_{0}y_{m}:...:x_{i}y_{j}:...:x_{n}y_{m})\end{array}}$

כאשר $0\leq i\leq n\ ,\ j=0,...,m$.

יריעת סגרה, מוגדרת להיות התמונה של העתקת סגרה:

$\Sigma _{k}^{n,m}:=s_{n,m}\left(\mathbb {P} _{k}^{n}\times \mathbb {P} _{k}^{m}\right).$

הגדרה באמצעות מכפלה טנזורית

יהיו $V$ ו $W$ מרחבים וקטוריים. יהיו $\mathbb {P} (V)$ ו-$\mathbb {P} (W)$ המרחבים הפרויקטיביים המתאימים, זאת אומרת מרחבי הישרים העוברים דרך הראשית ב-$V$ ו-$W$. תהי $V\otimes W$ המכפלה הטנזורית של $V$ ו-$W$. ניתן להגדיר את העתקת סגרה

$s_{V,W}:\mathbb {P} (V)\times \mathbb {P} (W)\to \mathbb {P} (V\otimes W)$

להיות ההעתקה המושרית ע"י:

${\begin{array}{rcl}\mathbb {P} (V)\times \mathbb {P} (W)&\longrightarrow &\mathbb {P} (V\otimes W)\\\left(v,w\right)&\longmapsto &v\otimes w\end{array}}$

קל לראות שהגדרה זאת מתלכדת אם הקודמת במקרה ש-$V=k^{n+1}$ ו-$,W=k^{m+1}$ בהשתמש בזיהוי $.k^{n+1}\otimes k^{m+1}\cong k^{(n+1)\cdot (m+1)}$

תכונות

מכיוון שתמונה של יריעה אי-פריקה היא יריעה אי-פריקה. נובע שיריעת סגרה היא יריעה אי-פריקה.

טענה: יריעת סגרה $\Sigma _{k}^{n,m}$ היא יריעת האפסים של כל המשוואות מהצורה

$z_{ij}z_{rl}-z_{il}z_{rj}=0$

באשר $i,r=0,...,n$ ו-$j,l=0,...,m$. יתר על כן, העתקת סגרה מגדירה איזומורפיזם מ- $\mathbb {P} _{k}^{n}\times \mathbb {P} _{k}^{m}$ ליריעת סגרה.

הוכחה

החלק המרכזי בהוכחה הוא להראות כי לכל נקודה $\mathbf {c} =\left(z_{00}^{0}:...:z_{nm}^{0}\right)$ ביריעת האפסים ${\mathcal {V}}\left(z_{ij}z_{rl}-z_{il}z_{rj}\ \mid \ 0\leq i,r\leq n\ ,\ 0\leq j,l\leq m\right)$ קיים ויחיד זוג $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ כך ש $\mathbf {c} =s_{n,m}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$. לשם כך נניח בלי הגבלת הכלליות ש-$z_{00}^{0}\neq 0$ (אחרת, בוחרים קואורדינטה הומוגנית אחרת השונה מאפס, שכן הן לא יכולות להיות כולן אפס בו זמנית) ואפשר להניח ש-$z_{00}^{0}=1$ (אחרת, מחלקים את הקואורדינטות ההומוגניות ב-$z_{00}^{0}$, דבר שלא משנה את הנקודה). לכן נרשום $\mathbf {c} =\left(1:...:z_{nm}^{0}\right)$. אזי הנקודות $\mathbf {a} =\left(1:z_{10}^{0}:...:z_{n0}^{0}\right)\in \mathbb {P} _{k}^{n}$ ו- $\mathbf {b} =\left(1:z_{01}^{0}:...:z_{0m}^{0}\right)\in \mathbb {P} _{k}^{m}$ מקיימות $\mathbf {c} =s_{n,m}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ והן היחידות המקיימות זאת. זה נובע מכך ש-$z_{i0}^{0}z_{0j}^{0}=z_{00}^{0}z_{ij}^{0}=1z_{ij}^{0}=z_{ij}^{0}$ לכל $0\leq i\leq n\ ,\ j=0,...,m$ (אלה המשוואות המגדירות את יריעת האפסים).

טענה זו מוכיחה שיריעת סגרה היא יריעה פרויקטיבית כמו כן ניתן להסיק מטענה זאת שיריעת סגרה היא המכפלה של $\mathbb {P} _{k}^{n}$ ו-$\mathbb {P} _{k}^{m}$ בקטגוריית היריעות הפרויקטיביות. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות מבלי להיזדקק להגדרת מושג הכללי של יריעה אלגברית.

דוגמה

החיתוך של ירעת סגרה $\Sigma _{\mathbb {R} }^{1,1}$ עם $\mathbb {A} _{k}^{3}\subset \mathbb {P} _{k}^{3}$, מהווה את הגרף של הפונקציה $f(x,y)=xy$

העתקת סגרה ממכפלה של שני ישרים פרויקטיבים נתונה על ידי

$s_{1,1}:{\begin{array}{rcl}\mathbb {P} _{k}^{1}\times \mathbb {P} _{k}^{1}&\longrightarrow &\mathbb {P} _{k}^{3}\\\left((x_{0}:x_{1}),(y_{0}:y_{1})\right)&\longmapsto &\left(x_{0}y_{0}:x_{0}y_{1}:x_{1}y_{0}:x_{1}y_{1}\right)\end{array}}$

ויריעת סגרה היא

$\Sigma _{k}^{1,1}={\mathcal {V}}(z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10})=\{(z_{00}:z_{01}:z_{10}:z_{11})\in \mathbb {P} ^{3}|z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10}=0\}$.

החיתוך של יריעת סגרה עם המרחב האפיני $\mathbb {A} _{k}^{3}\subset \mathbb {P} _{k}^{3}$ הוא למעשה הגרף של הפונקציה

$(x,y)\mapsto xy.$

ראו גם

• מרחב פרויקטיבי
• יריעה אלגברית
• יריעה פרויקטיבית
• קואורדינטות הומוגניות
• מכפלה (תורת הקטגוריות)
• גאומטריה אלגברית