שיכון סגרה

שיכון סגרה (Segre embedding) או העתקת סגרה (Segre map) היא שיכון סגור של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים במרחב פרויקטיבי (מממד גדול יותר). קיום שיכון כזה מוכיח כי מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא יריעה פרויקטיבית. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות מבלי להצטרך להגדיר את מושג היריעה האלגברית באופן כללי, ולהסתפק במושג היריעה הפרויקטיבית.

רקע ומוטיבציה

מרחב פרויקטיבי הוא אוסף הישרים העוברים דרך הראשית במרחב לינארי. יריעה פרויקטיבית היא תת-קבוצה סגורה זריצקי של מרחב פרויקטיבי, זאת-אומרת קבוצה המתוארת על ידי מספר משוואות פולינומיות הומוגניות. יריעה קווזי-פרויקטיבית היא תת-קבוצה פתוחה זריצקי של יריעה פרויקטיבית. זאת-אומרת יריעה פרויקטיבית שהציאו ממנה תת-יריעה פרויקטיבית. יריעות קווזי-פרויקטיבית מהוות מחלקה רחבה מאד של יריעות שכוללת בין השאר את היריעות האפיניות. זמן רב הגאומטריה האלגברית דנה רק בהן, וגם היום חלק נכר ממנה מוקדש להן.

אולם האילוץ להיות תת-קבוצה של מרחב פרויקטיבי הוא לא תמיד טבעי, כדי להימנע מאילוץ זה הוגדרו היריעות האלגבריות הכלליות. באופן אינטואיטיבי יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אפינית. ההגדרה הפורמלית של יריעה אלגברית מורכבת למדי, ולכן במיקרים רבים נמנעים מלתת אתה. גישה זאת גובה מחיר מסוים. למשל, בלי מושג היריעה האלגברית לא ברור איך להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות או אפילו של מרחבים פרויקטיבים. לשם כך נועד שיכון סגרה.

שיכון סגרה מאפשר לשכן מכפלה של מרחבים פרויקטיבים במרחב פרויקטיבי מממד גדול יותר ובכך הופך את המכפלה ליריעה פרויקטיבית. באופן דומה בעזרת שיכון סגרה ניתן לראות כ מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא פרויקטיבית ושל יריעות קווזי-פרויקטיביות היא קווזי-פרויקטיבית. למעשה, במונחים של גאומטריה אלגברית, לפני הגדרת מושג היריעה האלגברית, ניתן היה להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות (או קווזי-פרויקטיביות) רק באמצעות שיכון סגרה.

גם היום שיכון סגרה שימושי, מכיוון שתכונות מסוימת של יריעות פרויקטיביות (וקווזי-פרויקטיביות) לא תקפות ליריעות כלליות. כמו כן הוא משמש לבניית דוגמת של יריעות אלגבריות. לעומת זאת, מבחינה חישובית, שיכון סגרה שימושי רק בממדים קטנים, כי הוא מעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי, והמעלה של התמונה שלו (בתור תת-יריעה) גבוהה.

שיכון סגרה מאפשר להראות כי המרחבים הפרויקטיביים הם מופרדים (separated). זאת מפני שהשיכון מציג הלכה למעשה את האלכסון של מרחב פרויקטיבי בתור תת-יריעה סגורה של המכפלה, היא מרחב סגרה.

הגדרה

יהי k שדה סגור אלגברית. יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}^n_k} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}^m_k} המרחבים הפרויקטיבים מממדים n ו-m בהתאמה. נגדיר את העתקת סגרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{rcl} s_{n,m} : \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k & \longrightarrow & \mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}_k \\ \left( ( x_0 : ... : x_n ) , (y_0 : ... : y_m ) \right) & \longmapsto & (x_0 y_0 : x_0 y_1 : ... : x_0 y_m : ... : x_i y_j : ... : x_n y_m) \end{array}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \le i \le n \ , \ j = 0 , ... , m} .

יריעת סגרה, מוגדרת להיות התמונה של העתקת סגרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma^{n,m}_k := s_{n,m} \left( \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k \right).}

הגדרה באמצעות מכפלה טנזורית

יהיו $V$ ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} מרחבים וקטוריים. יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb P(V)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb P(W)} המרחבים הפרויקטיביים המתאימים, זאת אומרת מרחבי הישרים העוברים דרך הראשית ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} . תהי $V\otimes W$ המכפלה הטנזורית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} . ניתן להגדיר את העתקת סגרה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{V,W}:\mathbb P(V)\times \mathbb P(W) \to \mathbb P(V\otimes W)}

להיות ההעתקה המושרית ע"י:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathbb{P}(V)\times \mathbb P(W) & \longrightarrow & \mathbb P(V\otimes W) \\ \left( v , w \right) & \longmapsto & v \otimes w \end{array}}

קל לראות שהגדרה זאת מתלכדת אם הקודמת במקרה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=k^{n+1}} ו-$,W=k^{m+1}$ בהשתמש בזיהוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .k^{n+1} \otimes k^{m+1}\cong k^{(n+1) \cdot (m+1)}}

תכונות

מכיוון שתמונה של יריעה אי-פריקה היא יריעה אי-פריקה. נובע שיריעת סגרה היא יריעה אי-פריקה.

טענה: יריעת סגרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma^{n,m}_k} היא יריעת האפסים של כל המשוואות מהצורה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_{ij} z_{rl} - z_{il} z_{rj} = 0}

באשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,r = 0,...,n} ו-$j,l=0,...,m$. יתר על כן, העתקת סגרה מגדירה איזומורפיזם מ- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k} ליריעת סגרה.

הוכחה

החלק המרכזי בהוכחה הוא להראות כי לכל נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{c} = \left( z^0_{00} : ... : z^0_{nm} \right)} ביריעת האפסים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{V} \left( z_{ij} z_{rl} - z_{il} z_{rj} \ \mid \ 0 \le i,r \le n \ , \ 0 \le j,l \le m \right) } קיים ויחיד זוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbf{a},\mathbf{b})} כך ש $\mathbf {c} =s_{n,m}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$. לשם כך נניח בלי הגבלת הכלליות ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^0_{00} \ne 0} (אחרת, בוחרים קואורדינטה הומוגנית אחרת השונה מאפס, שכן הן לא יכולות להיות כולן אפס בו זמנית) ואפשר להניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^0_{00} = 1} (אחרת, מחלקים את הקואורדינטות ההומוגניות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^0_{00}} , דבר שלא משנה את הנקודה). לכן נרשום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{c} = \left( 1 : ... : z^0_{nm} \right)} . אזי הנקודות $\mathbf {a} =\left(1:z_{10}^{0}:...:z_{n0}^{0}\right)\in \mathbb {P} _{k}^{n}$ ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{b} = \left( 1 : z^0_{01} : ... : z^0_{0m} \right) \in \mathbb{P}^m_k} מקיימות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{c} = s_{n,m}(\mathbf{a},\mathbf{b})} והן היחידות המקיימות זאת. זה נובע מכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^0_{i0} z^0_{0j} = z^0_{00} z^0_{ij} = 1 z^0_{ij} = z^0_{ij}} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \le i \le n \ , \ j = 0 , ... , m} (אלה המשוואות המגדירות את יריעת האפסים).

טענה זו מוכיחה שיריעת סגרה היא יריעה פרויקטיבית כמו כן ניתן להסיק מטענה זאת שיריעת סגרה היא המכפלה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}^n_k} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}^m_k} בקטגוריית היריעות הפרויקטיביות. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות מבלי להיזדקק להגדרת מושג הכללי של יריעה אלגברית.

דוגמה

החיתוך של ירעת סגרה $\Sigma _{\mathbb {R} }^{1,1}$ עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb A^3_k\subset \mathbb P^3_k} , מהווה את הגרף של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=xy}

העתקת סגרה ממכפלה של שני ישרים פרויקטיבים נתונה על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{1,1} : \begin{array}{rcl} \mathbb{P}^1_k \times \mathbb{P}^1_k & \longrightarrow & \mathbb{P}^3_k \\ \left( (x_0 : x_1 ) , ( y_0 : y_1 ) \right) & \longmapsto & \left( x_0 y_0 : x_0 y_1 : x_1 y_0 : x_1 y_1 \right) \end{array}}

ויריעת סגרה היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma^{1,1}_k = \mathcal{V}(z_{00} z_{11} - z_{01} z_{10})=\{(z_{00}:z_{01}:z_{10}:z_{11})\in \mathbb{P}^3|z_{00} z_{11} - z_{01} z_{10}=0\}} .

החיתוך של יריעת סגרה עם המרחב האפיני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb A^3_k\subset \mathbb P^3_k} הוא למעשה הגרף של הפונקציה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)\mapsto xy.}

ראו גם

• מרחב פרויקטיבי
• יריעה אלגברית
• יריעה פרויקטיבית
• קואורדינטות הומוגניות
• מכפלה (תורת הקטגוריות)
• גאומטריה אלגברית