מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון מכפלה קרטזית של קבוצות, מכפלה ישרה של חבורות, מכפלה של מרחבים טופולוגים וכו'. במהותה, מכפלה של זוג אובייקטים היא "האובייקט הכללי ביותר" שיש ממנו מורפיזם לכל אחד מזוג האובייקטים.

הגדרה

נניח כי C היא קטגוריה וכי $\,\{X_{i}|i\in I\}$ היא משפחה של אובייקטים ב-C. המכפלה של הקבוצה $\,\{X_{i}\}$ היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים $\,\pi _{i}:X\rightarrow X_{i}$ (הנקראות ההטלות הקנוניות, שהן לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד אפימורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים $\,f_{i}:Y\rightarrow X_{i}$ קיים מורפיזם יחיד $\,f:Y\rightarrow X$ כך שלכל $\,i\in I$ מתקיים $f_{i}=\pi _{i}\circ f$. במילים אחרות, לכל i הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

התכונה האוניברסלית של מכפלה

במילים אחרות, X הוא אובייקט סופי בקטגוריה $C_{\{X_{i}\}}=\left\{(Z,\{g_{i}:Z\to X_{i}\})\ |\ \forall i:X,X_{i}\in \mathrm {Ob} (C)\ ,\ g_{i}\in \mathrm {Mor} (Z,X_{i})\right\}$ עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב$\,X_{1}\times X_{2}$, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב<f₁,f₂>.

דוגמאות

• בקטגוריה של קבוצות, המכפלה היא פשוט מכפלה קרטזית של אוסף הקבוצות. בהינתן משפחה של קבוצות X_i, המכפלה מוגדרת על ידי:

$\prod _{i\in I}X_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}|x_{i}\in X_{i}\,\forall i\in I\}$

וההטלות הקנוניות הן

$\pi _{j}:\left(\prod _{i\in I}X_{i}\right)\to X_{j}\mathrm {,} \quad \pi _{j}((x_{i})_{i\in I}):=x_{j}$

בהינתן קבוצה כלשהי Y ואוסף של פונקציות

$\,f_{i}:Y\to X_{i}$

המורפיזם האוניברסלי f נתון על ידי

$f:Y\to \prod _{i\in I}X_{i}\mathrm {,} \quad f(y):=(f_{i}(y))_{i\in I}$

• בקטגוריה של מרחבים טופולוגים, המכפלה נתונה על ידי מכפלה של מרחבים טופולוגים. כקבוצה, המכפלה שווה למכפלה הקרטזית של הקבוצות מהן מורכבים המרחבים הטופולוגים, והטופולוגיה היא הטופולוגיה החלשה ביותר בה ההטלות הן פונקציות רציפות. ההטלות הן, שוב, כמו בקטגוריה של קבוצות, ועקב בחירת הטופולוגיה על המכפלה הן מהוות פונקציות רציפות, ולפיכך מורפיזמים בקטגוריה של מרחבים טופולוגים.

קיום ויחידות

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה $\,\{X_{i}\}$ מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם $\,\pi _{i}:X\rightarrow X_{i}$ ו-$\,\pi '_{i}:X'\rightarrow X_{i}$ הן זוג מכפלות של המשפחה $\,\{X_{i}\}$ אז קיים איזומורפיזם יחיד $\,f:X\rightarrow X'$ כך ש $\,\pi _{i}=\pi '_{i}\circ f$.

ראו גם

• קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)
• מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)