אינדקס מילר

בקריסטלוגרפיה, אינדקס מילר הוא שיטת סימון המשמשת לתיאור מישורים וכיוונים בסריג של גביש. הסימון קרוי על-שמו של המינרלוג ויליאם האלוס מילר.

כדי לתאר באופן חד-משמעי סריג תלת-ממדי, יש לקבוע את נקודת הראשית, ואז לבחור לסריג בסיס. הבסיס כולל שלוש נקודות במרחב, והחצים המוליכים מן הראשית לנקודות אלה הם וקטורי השריג, $\ v_{1},v_{2},v_{3}$ . כל נקודה של הסריג אפשר להציג, באופן יחיד, כצירוף ליניארי $\ x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}$ , כאשר המקדמים $\ a_{1},a_{2},a_{3}$ הם מספרים שלמים. הסימון $\ [a_{1}a_{2}a_{3}]$ מתייחס לישר העובר דרך הראשית ודרך הנקודה x לעיל, וכולל, לפיכך, גם את נקודות הסריג $\ 2x,3x,\dots$ , וכן את $\ -x,-2x,-3x,\dots$ .

כדי לאתר את הישר $\ [a_{1}a_{2}a_{3}]$ על הסריג, יש לדעת מהם וקטורי הבסיס שנבחרו. בדרך כלל בוחרים בסיס פרימיטיבי; עם זאת, כאשר מדובר בסריגים קובייתיים, מקובל לבחור בסיס אורתוגונלי, שבו הווקטורים מאונכים זה לזה, למרות שביחס לבסיס כזה יש נקודות בעלות מקדמים הרחוקים כדי 1/2 ממספר שלם. ניתן להבטיח שהמקדמים באינדקס מילר יהיו תמיד שלמים וזרים הדדית, משום שהישר תלוי רק ביחסים שבין המקדמים; כך גם עבור הסימונים הנוספים, המתוארים להלן.

הביטוי $\ (a_{1}a_{2}a_{3})$ (סוגריים עגולים, במקום מרובעים) מתאר מישור. באופן פורמלי, זהו מישור האפסים של הפונקציונל $\ x^{*}=a_{1}v_{1}^{*}+a_{2}v_{2}^{*}+a_{3}v_{3}^{*}$ , כאשר $\ v_{i}^{*}$ הם הפונקציונלים הבסיסיים, המוגדרים על ידי $\ v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$ , כאשר $\ \delta$ היא הדלתא של קרונקר. במכפלה הפנימית של הסריג, זהו המישור המאונך לווקטור x; הוא כולל את כל הנקודות $\ n_{1}v_{1}+n_{2}v_{2}+n_{3}v_{3}$ שמקדמיהן מקיימים את המשוואה $\ a_{1}n_{1}+a_{2}n_{2}+a_{3}n_{3}$ . באינדקס מילר מקובל לכתוב $\ {\bar {a}}$ במקום $\ -a$ , כאשר a מספר חיובי. כך למשל, $\ (20{\bar {5}})$ מייצג את המישור הנפרש על ידי הווקטורים $\ 5v_{1}+2v_{3}$ ו- $\ v_{2}$ .

בנוסף לסימון שהוצג לעיל, מקובל להשתמש בסימון $\ {a_{1}a_{2}a_{3}}$ כדי לייצג את כל המישורים המתקבלים מ- $\ (a_{1}a_{2}a_{3})$ על ידי פעולת חבורת הסימטריות של הסריג; בדומה, $\ \langle a_{1}a_{2}a_{3}\rangle$ מתייחס לכל הישרים המתקבלים על ידי סימטריות מ- $\ [a_{1}a_{2}a_{3}]$ .

ישרים ומישורים בגביש

הישרים והמישורים בסריג הם אמנם פיקטיביים (שהרי האטומים בגביש אינם מחוברים זה לזה במוטות קטנים), אולם לצפיפות האטומים במישור יש חשיבות מרובה בנוגע לתכונות הפיזיקליות של הגביש. בין אלה, אפשר למנות את התכונות האופטיות, את תכונות ההולכה, הריאקטיביות, מישורי השבירה, ועוד.