קבוע קטלן
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, קבוע קטלן G ,שנקרא על שם אז'ן שרל קטלן, הוא מספר שמוגדר על ידי
- $ G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \! $
כאשר β היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.
ערכו בקירוב של קבוע קטלן הוא: $ G=0.915\,965\,594\,177\,219\,015\,054\,603\,514\,932\,384\,110\,774... $
הגדרות נוספות
- $ G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\! $
- $ G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\! $
- $ G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt\! $
- $ G={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt\! $
- $ G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\! $
- $ G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\! $
- $ G=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\! $
- $ G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (t)\,dt\! $
- כאשר K(t) מוגדר להיות האינטגרל האליפטי.
- $ G={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})\Gamma (1-{\tfrac {x}{2}})\,dx={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\tfrac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy $
- $ {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&{}\quad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}} $
- $ G={\tfrac {1}{8}}\pi \log(2+{\sqrt {3}})+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}. $
שימושים
על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:
- $ \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G $
- $ \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G. $
מספרים אי-רציונליים נודעים | ||
---|---|---|
מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δAg • היחס הפלסטי 𝜌 | ![]() |
מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל | |
מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים |
קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין | |
טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים |
קישורים חיצוניים
- קבוע קטלן, באתר MathWorld (באנגלית)
- סדרת הספרות העשרוניות של קבוע קטלן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
קבוע קטלן29820982Q855282