במתמטיקה, קבוע קטלן G ,שנקרא על שם אז'ן שרל קטלן, הוא מספר שמוגדר על ידי
![{\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec76a325b64d6109b2cdad149257e1c4bb755148)
כאשר β היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.
ערכו בקירוב של קבוע קטלן הוא:
הגדרות נוספות
![{\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541d32a99cc85a226a8c87d8dd1ea5c95264b014)
![{\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f941ee7975d97935bcb3a6fe3220a6bdc30c4bbd)
![{\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2113255039943024196c1f5bf521e3c4d3265d0f)
![{\displaystyle G={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5747bdb7e20c72aabad47978a4b0d265203493)
![{\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd56ff6489266798e128ddc4f5e9c6329436fbb7)
![{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d957bd9b62877b098b52128290f0c8076a827043)
![{\displaystyle G=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e5bca2aa84a4e91b954b1d9579829961818ba9)
![{\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (t)\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca27ee0404089a8d83533fc88259df1657cd0537)
![{\displaystyle G={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})\Gamma (1-{\tfrac {x}{2}})\,dx={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\tfrac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d61a13470c71514181a3e344393c7938383888)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&{}\quad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd803633d36b73a025e31db487df700a8b0fd6e)
![{\displaystyle G={\tfrac {1}{8}}\pi \log(2+{\sqrt {3}})+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a679d5fe159874c7642616acd8193143c03e06b9)
שימושים
על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:
![{\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f372250e9012ecf96803b27cd7b8e31dc8acb5)
![{\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89943d881a84aba904659cc6eb358797ba1e6440)
קישורים חיצוניים
29820982קבוע קטלן