פונקציית בטא של דיריכלה

פונקציית בטא של דיריכלה

במתמטיקה, פונקציית בטא של דיריכלה (על שם המתמטיקאי יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה) היא פונקציה הקשורה לפונקציית זטא של רימן, ומוגדרת על ידי:

${\begin{aligned}\beta (s)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx\end{aligned}}$

לכל מספר מרוכב המקיים ${\text{Re}}(s)>0$ . אפשר גם להגדירה על ידי פונקציית פוליגמא המאפשרת הכללה לכל מספר בתחום המישור המרוכב.

$\beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right]$

המשוואה הפונקציונלית של פונקציית בטא של דיריכלה עבור ${\text{Re}}(s)<0$ היא

$\beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)$

כאשר $\Gamma (s)$ פונקציית גמא.

ערכים מיוחדים

${\begin{aligned}\beta (0)={\frac {1}{2}}\\\beta (1)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\\\beta (2)=G\end{aligned}}$

($G$ נקרא קבוע קטלן)

${\begin{aligned}\beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}\\\beta (4)={\frac {1}{768}}{\bigl (}\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}{\bigr )}\\\beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}\\\beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}\end{aligned}}$

כאשר $\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)$ מוגדרת להיות פונקציית פוליגמא. בצורה יותר כללית, לכל מספר טבעי $k$ :

$\beta (2k+1)={{(-1)^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}$

כאשר $E_{n}$ מספר אוילר ה-$n$-י. על ידי הכללה אפשר להסיק שלכל מספר טבעי $k$ :

$\beta (-k)={\frac {E_{k}}{2}}$