במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת של הלוגריתם של פונקציית גמא:
.
אז
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e905db52286aad5ec3cb3b0181d3b64ef99e52f)
כאשר
היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום
.
גרף במישור המרוכב של פונקציית הפוליגמא
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
נוסחה על ידי אינטגרל
אפשר להגדיר את פונקציית פוליגמא על ידי אינטגרל:
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\ dt=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}\ln ^{m}t\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e216c8412ea000b7ba2ca4e814106e571dd1302a)
נוסחת נסיגה
וגם על ידי נוסחת נסיגה
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa4f34f1f65ed8c7a299515e6082afcac8d64c9)
או על ידי
![{\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b745556e680961c36773c43b702307e888b4858a)
כאשר
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7699254edf6d9ce5adf0c4fbc50d3e8ce52313)
לכול
טבעי.
טור טיילור
טור טיילור של פונקציית הפוליגמא היא:
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\;\zeta (m+k+1)\;z^{k}\qquad m\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3778f13e294b771f50ebe50b569e69569cccca04)
כאשר
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)\;z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467f9d55aee3e99ca8bdb5989be8db2ee8ed4b01)
אשר מתכנס כאשר לכל
בעל ערך מוחלט של 1. במקרה זה זטא מוגדרת להיות פונקציית זטא של רימן.
קישורים חיצוניים
28523232פונקציית פוליגמא