פונקציית W של למברט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

גרף הפונקציה $ y=W(x) $ עבור $ x<6 $ ו $ y>-4 $. ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי $ y\geq -1 $ היא גרף הפונקציה $ W_{0} $ (ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי $ y\leq -1 $ היא גרף הפונקציה $ W_{-1} $. הערך המינימלי של $ x $ הוא ב-$ (-{\frac {1}{e}},-1) $

במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה $ f(w)=we^{w} $, כש-$ w $ הוא מספר מרוכב כלשהו ו-$ e^{w} $ היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם $ k $ משויך ענף אחד, המסומן בצורה $ W_{k}({\text{z}}) $. $ W_{0} $ מוגדר כענף הראשי . לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם $ {\text{z}} $ ו-$ w $ הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי:

$ we^{w}=z $

מתקיים אם ורק אם:

$ w=W_{k}({\text{z}}) $ עבור $ k $ שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים $ W_{0} $ ו-$ W_{-1} $ בלבד; עבור המספרים הממשיים $ x $ ו-$ y $ והמשוואה:

$ ye^{y}=x $

למשוואה זו יש פתרון רק עבור $ x\geq -{\frac {1}{e}} $; אנו מקבלים כי $ y=W_{0}(x) $ אם $ x\geq 0 $, ואת שני הערכים $ y=W_{0}(x) $ וגם $ y=W_{-1}(x) $ אם $ -{\frac {1}{e}}\leq x<0 $ (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

טרמינולוגיה

פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי $ W_{0} $ מסומן כ-$ W_{p} $ והענף $ W_{-1} $ מסומן כ-$ W_{m} $.

לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של $ f(w)=e^{w} $ נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה $ we^{w} $ בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-$ W_{0}(1) $.

ייצוגים

אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי שלה בדרכים אחרות.

באמצעות אינטגרלים מסוימים

בתחום $ |x|<{\frac {1}{e}} $, ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:

$ -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt $

ועבור התחום הרחב יותר $ -{\frac {1}{e}}\leq x\leq e $, ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:

$ W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt $

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:

$ W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt $

עבור התחום $ x\geq -{\frac {1}{e}} $ בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:

$ {\begin{aligned}W_{0}(x)&={\frac {x}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\\\ &={\frac {x}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\end{aligned}} $

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

באמצעות שברים משולבים

ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:

$ W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}} $

ועבור התחום $ |W_{0}(x)|<1 $:

$ W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}} $

ובאופן דומה, עבור התחום $ |W_{0}(x)|>e $:

$ W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}} $

ד"א (דיפרנציאביליות ואינטגרביליות)

נגזרת

לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של $ W $ יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

$ z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e}}) $

($ W $ אינה גזירה עבור $ z=-{\frac {1}{e}} $) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של $ W $:

$ {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}}\} $

ובאמצעות שימוש בזהות $ e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}} $ נקבל את הנוסחה הבאה:

$ {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e}}) $

בענף הראשי נקבל $ W_{0}'(0)=1 $.

אינטגרל

ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה $ W(x) $, ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: $ w=W(x)\ \ \ (x=we^{w}) $

$ {\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C\end{aligned}} $

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור $ x=0 $.

אם נשתמש בעובדה כי $ W_{0}(e)=1 $ נקבל:

$ \int _{0}^{e}W_{0}(x)dx=e-1 $

אינטגרלים מסוימים

קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:

$ \int _{0}^{\pi }W_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }} $

$ \int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}dx=2{\sqrt {2\pi }} $

$ \int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx=2{\sqrt {\pi }} $

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה $ u=W_{0}(x) $, ואז ניתן גם להחליף את:

$ x=ue^{u} $

$ {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u} $

ואז ניתן להראות כי:

$ {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}} $

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה $ u=x^{-2} $, ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה $ z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\tan x $.

אינטגרלים לא מסוימים

$ \int {\frac {W(x)}{x}}dx={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C $

הוכחה ראשונה

אם נציב את המשתנה $ u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u} $ נקבל:

$ {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\frac {\cancel {\color {green}u}}{{\cancel {\color {green}u}}{\cancel {\color {red}e^{u}}}}}(u+1){\cancel {\color {red}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}+u+C\\\ &\qquad u=W(x)\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}} $

הוכחה שנייה

$ W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)} $

$ {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int e^{-W(x)}dx\\\ &\qquad u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\\\ &\qquad {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}\\\ &=\int e^{-u}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\cancel {\color {green}e^{-u}}}(u+1){\cancel {\color {green}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}u+C\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}} $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C $

הוכחה

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx $

$ u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}} $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du $

$ v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}} $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv $

$ w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}} $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw $

$ t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t} $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C $

$ t=W\left(w\right) $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C $

$ w=Av $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C $

$ v=e^{u} $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C $

$ u=Bx $

$ \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C $

$ \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C $

הוכחה

אם נציב את המשתנה $ u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u} $ נקבל:

$ {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}} $

$ v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1 $

$ \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du $

$ \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C $

$ v=-u $

$ \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C $

$ u=W(x) $

$ {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}} $

ערכים מיוחדים

עבור כל $ x $ מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי $ W(x) $ הוא מספר טרנסצנדנטי. אם $ W(x) $ הוא 0, אז $ x $ חייב להיות גם הוא 0, ואם $ W(x) $ הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, $ e^{W(x)} $ חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן $ x=W(x)e^{W(x)} $ חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ($ W_{0} $):

• $ W_{0}(-{\frac {\pi }{2}})={\frac {i\pi }{2}} $
• $ W_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1 $
• $ W_{0}(2\ln 2)=\ln 2 $
• $ W_{0}(0)=0 $
• $ W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}\approx 0.56714329 $ (קבוע אומגה)
• $ W_{0}(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1) $
• $ W(e)=1 $
• $ W(e^{1+e})=e $

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית W של למברט בוויקישיתוף

• פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה
• פונקציית W של למברט, באתר MathWorld (באנגלית)
• מימוש הפונקציה בשפת C++

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית W של למברט37465116Q429331