קריטריון קרטן
באלגברה מופשטת, קריטריון קרטן הוא קריטריון להיותה של אלגברת לי פתירה. ממנו נובע תנאי הכרחי ומספיק להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה, בעזרת תבנית קילינג.
ניסוח
תהי $ L $ תת-אלגברת לי של אלגברת האנדומורפיזמים $ gl(V) $ של מרחב וקטורי $ V $ מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. אז $ L $ פתירה אם ורק אם $ \forall x\in L,y\in [L,L]:\operatorname {Tr} (xy)=0 $.
הוכחה
קודם נניח כי $ L $ פתירה. משפט לי קובע כי אם $ L\subseteq gl(V) $ פתירה אז ניתן להציג כל איבר בה כמטריצה משולשית עליונה. מסקנה נוספת ממשפט לי קובעת כי אם $ L $ פתירה אז $ [L,L] $ נילפוטנטית, ומשפט אנגל קובע כי כל איבר של אלגברת לי נילפוטנטית ניתן להציג כמטריצה משולשית עליונה ממש (עם אפסים באלכסון). לכן, מכפלה של איבר מ-$ [L,L] $ באיבר מ-$ L $ ייתן מטריצה משולשית עליונה ממש, והעקבה שלה היא אפס, כדרוש.
כדי להוכיח את הכיוון השני, יש להיעזר בלמה:
למה: יהיו $ A\subseteq B\subseteq gl(V) $, ונביט ב-$ M=\{x\in gl(V):[x,B]\subseteq A\} $. לכל $ x\in M $, אם מתקיים $ \forall y\in M,\operatorname {Tr} (xy)=0 $, אז $ x $ נילפטונט.
(הוכחה ללמה ראו בקריאה נוספת).
כדי להוכיח את הקריטריון, כלומר כדי להוכיח ש-$ L $ פתירה, מספיק להוכיח כי $ [L,L] $ נילפטונתית (כי אז היא גם פתירה ואז גם $ L $ פתירה). לפי משפט אנגל מספיק להוכיח כי כל איבר ב-$ [L,L] $ נילפוטנט. כדי לעשות זאת, נשתמש בלמה עם $ A=[L,L]\subseteq B=L $. כאן $ M=\{x\in gl(V):[x,L]\subseteq [L,L]\} $, ומתקיים $ [L,L]\subseteq L\subseteq M $. כדי להסיק מהלמה שכל איברי $ [L,L] $ נילפוטנט, מספיק להוכיח כי $ \forall [x,y]\in [L,L],z\in M:\operatorname {Tr} ([x,y]z)=0 $. אכן מתקיים $ \operatorname {Tr} ([x,y]z)=\operatorname {Tr} (x[y,z])=0 $ - המעבר האחרון נכון כי לפי ההנחה ש-z ב-$ M $ ולכן $ [y,z]\in [L,L] $, ולכן אפשר להשתמש בנתון.
מסקנה לכל אלגברת לי
קריטריון קרטן כפי שנוסח לעיל נכון רק לתת אלגברות של אלגברת האנדומורפיזמים (אחרת אין משמעות לעקבה של האיברים). ההכללה הטבעית היא:
מסקנה: תהי $ L $ כל אלגברת לי, כך ש-$ \forall x\in L,y\in [L,L]:\operatorname {Tr} (ad(x)ad(y))=0 $, כאשר $ \operatorname {ad} $ הוא ההצגה הצמודה. אז $ L $ פתירה.
הוכחה: נפעיל את קריטריון קרטן עבור$ \operatorname {ad} (L)=\{\operatorname {ad} x:x\in L\} $, ונקבל כי $ \operatorname {ad} (L) $ פתירה. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון עבור ההעתקה $ \operatorname {ad} :L\rightarrow \operatorname {gl} (V) $ נקבל כי $ L/Z(L)\cong ad(L) $ פתירה (כאשר $ \operatorname {Z} (L) $ הוא המרכז של $ L $); אבל $ \operatorname {Z} (L) $ אבלית ולכן פתירה, ולכן גם $ L $ פתירה כדרוש.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 19-20
קריטריון קרטן22378512Q5047038