פונקציית דיגמא

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המחשה של פונקציית דיגמא $ \psi (z) $.

גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי

במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:

$ .\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}} $

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על $ (0,\infty ) $, והיא שקולה אסימפטוטית ל-

$ ,\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}} $

עבור ($ |z|\rightarrow \infty $) בגזרה $ |\arg z|<\pi -\varepsilon $ לכל $ \varepsilon >0 $.

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ-$ \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x) $ או Ϝ.

קשר למספרים ההרמוניים

פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

$ .\Gamma (z+1)=z\Gamma (z) $

ניקח לוג של שני האגפים:

$ ,\ln(\Gamma (z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma (z)) $

גזירה ביחס ל- $ z $:

$ \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}} $

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים n

$ ,H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}} $

מתקיים,

$ ,\psi (n)=H_{n-1}-\gamma $

כאשר $ H_{0}=0 $ ו-$ \gamma $ הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

$ .\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}} $

ייצוגים אינטגרליים

אם החלק הממשי של $ z $ הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:

$ .\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt $

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני $ \gamma $ נותן:

$ .\psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt $

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר $ H_{z} $, כך שניתן לכתוב:

$ .\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z} $

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

$ .\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z} $

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:

$ .\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}} $

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של $ \psi $.

$ .\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt $

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור $ \psi $:

$ .\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}} $

מתוך ההגדרה של $ \psi $ והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

$ ,\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt $

כאשר $ \Re z>0 $ .

ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית

הפונקציה $ \psi (z)/\Gamma (z) $ היא פונקציה שלמה, והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

$ .{\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}} $

כאשר $ x_{k} $ הוא האפס ה-$ k $ של $ \psi $ (ראה להלן) ו- $ \gamma $ הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- $ -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}} $ בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: $ .{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z) $

ייצוג כטור

מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):

$ \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots $

חישוב סכומים של פונקציות רציונליות

ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

$ ,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}} $

כאשר $ p(n) $ ו-$ q(n) $ הם פולינומים של $ n $.

פירוק לשברים חלקיים של $ u_{n} $ בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של $ q(n) $ הם שורשים פשוטים,

$ .u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}} $

כדי שהטור יתכנס,

$ \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0 $,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

$ ,\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0 $

ונקבל,

$ \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right) $$ =-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}) $

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

$ ,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}) $

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

טור טיילור

לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה $ z=1 $:

$ ,\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k} $

שמתכנס עבור $ |z|<1 $. כאשר, $ \zeta (n) $ היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

טור ניוטון

טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:

$ ,\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}} $

כאשר $ {\binom {s}{k}} $ הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

$ ,\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1 $

כאשר $ m=2,3,4,... $.

נוסחת השיקוף

פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

$ \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x $.

ראו גם

• פונקציית פוליגמא
• פיתוחי צ'בישב

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית דיגמא בוויקישיתוף

• Wimp, Jet (1961). "Polynomial approximations to integral transforms". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 258–259.
• "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5".
• פונקציית דיגמא, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית דיגמא38643789Q905326