פונקציית דיגמא

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המחשה של פונקציית דיגמא הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \psi (z)} .

קובץ:Mplwp polygamma03.svg

גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי

במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}}

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,\infty)} , והיא שקולה אסימפטוטית ל-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\psi(z) \sim \ln{z} - \frac{1}{2z}}

עבור (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z|\rightarrow\infty} ) בגזרה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon } לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} .

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_0(x), \psi^{(0)}(x) } או Ϝ.

קשר למספרים ההרמוניים

פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) }

ניקח לוג של שני האגפים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\ln(\Gamma(z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma(z)) }

גזירה ביחס ל- $z$:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}}

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים n

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k }

מתקיים,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\psi(n)=H_{n-1}-\gamma}

כאשר $H_{0}=0$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}}

ייצוגים אינטגרליים

אם החלק הממשי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle .\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} נותן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\psi(z + 1) = -\gamma + \int_0^1 \left(\frac{1-t^z}{1-t}\right)\,dt}

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_z} , כך שניתן לכתוב:

$.\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}$

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\psi(w + 1) - \psi(z + 1) = H_w - H_z}

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\psi(z) = \int_0^\infty \left(e^{-t} - \frac{1}{(1 + t)^z}\right)\,\frac{dt}{t}}

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} .

$.\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt$

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - 2\int_0^\infty \frac{t\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}}

מתוך ההגדרה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ,\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Re z > 0} .

ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(z)/\Gamma(z)} היא פונקציה שלמה, והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\frac{\psi(z)}{\Gamma(z)}=-e^{2\gamma z}\prod_{k=0}^\infty\left(1-\frac{z}{x_k} \right)e^{\frac{z}{x_k}} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k} הוא האפס ה-$k$ של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} (ראה להלן) ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}} בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)}

ייצוג כטור

מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(z + 1) = -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right) = -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z}{n(n + z)}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots }

חישוב סכומים של פונקציות רציונליות

ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \frac{p(n)}{q(n)}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(n)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(n)} הם פולינומים של $n$.

פירוק לשברים חלקיים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_n} בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(n)} הם שורשים פשוטים,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}}

כדי שהטור יתכנס,

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0} ,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\sum_{k=1}^m a_k=0}

ונקבל,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_n = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k} =\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m a_k\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right) =\sum_{k=1}^m\left(a_k\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right)\right) } הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big) =-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k) }

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{(r_k-1)}(b_k)}

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

טור טיילור

לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=1} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\,\zeta (k+1) \, z^k}

שמתכנס עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z|<1} . כאשר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta(n)} היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

טור ניוטון

טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \binom{s}{k}} הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\psi(s+1) = -\gamma - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}- \frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1 }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=2,3,4,...} .

נוסחת השיקוף

פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x} .

ראו גם

• פונקציית פוליגמא
• פיתוחי צ'בישב

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית דיגמא בוויקישיתוף

• Wimp, Jet (1961). "Polynomial approximations to integral transforms". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 258–259.
• "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5".
• פונקציית דיגמא, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

38643789פונקציית דיגמא