T1, T2, T3, T4, T5
סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים,
, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן
מקיים את אי-השוויון
, והפולינומים
הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.
ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:
![{\displaystyle T_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9414e090394b17d0c05d9f4312baf7a82c571c66)
![{\displaystyle T_{1}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404d7dcada1494e3807fb23f14eb118d6f42c7bd)
![{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51159f1387de14b1baafb8284566b245dd22479)
![{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022eebdc82fafaddb2986651f9020f0101399a7d)
הגדרה ותכונות יסוד
אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה
, שבגללה
לכל
. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:
,
ו-
. מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-
-י היא
.
מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות
מן ההגדרה נובע ש-
,
וכן
.
באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה
![{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c53dd6cebe8ac47881384ff803649abe44e1c4)
ולקבל את ה
פונקציה היוצרת
.
מתקיים גם השוויון
.
פולינומי צ'ביצ'ב
מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת
.
מכך שמעלת
היא
נובע כי
פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה
, ובפרט הממד
. אם בוחרים
מתקבל
, ולעיתים קרובות
הוא הפולינום המינימלי של
.
ראו גם
קישורים חיצוניים
32958308פולינומי צ'בישב