עקרון האילוץ המינימלי של גאוס

עקרון האילוץ המינימלי (באנגלית: Principle of least constraint) הוא ניסוח מסוים של מכניקה קלאסית שתואר לראשונה במאמר קצר מ-1829 של קרל פרידריך גאוס.

עקרון האילוץ המינימלי הוא עקרון ריבועים פחותים הקובע שהתאוצות האמיתיות של רכיבי מערכת מכנית המורכבת מ-$N$ מסות הן כאלו שממזערות את הגודל:

$Z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathbf {F} _{k}}{m_{k}}}\right|^{2}$

בעבור כל התאוצות $\{{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}\}$ שמקיימות את האילוצים הכפויים, כאשר $m_{k}$, $\mathbf {r} _{k}$ ו- $\mathbf {F} _{k}$ מייצגים את המסה, המיקום והכוחות הלא-מאלצים של המסה $\mathrm {k^{th}}$. שימו לב שאוסף התאוצות המקיימות את האילוצים הכפויים הן באופן כללי תלויות במצב הנוכחי של המערכת, $\{(\mathbf {r} _{k},{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}})\}$. את משמעות העקרון סיכם גאוס בניסוח מילולי אלגנטי:

"התנועה של מערכת של נקודות חומריות מתרחשת בכל רגע נתון בהתאמה מירבית עם תנועה חופשית או תחת אילוץ מינימלי, כאשר האילוץ מוגדר כסכום מכפלות המסות בריבועי הסטיות שלהן מתנועה חופשית".

גאוס סיים את מאמרו בהדגש משמעותי, בו מתח אנלוגיה בין העקרון החדש שלו לשיטת הריבועים הפחותים; דהיינו האנלוגיה בין חוקי הטבע ועבודתו של המתמטיקאי המחשב.

העקרון של גאוס מקביל לעקרון ד'אלמבר.

עקרון האילוץ המינימלי דומה באופן איכותי לעקרון המילטון, אשר קובע שהמסלול האמיתי של מערכת במרחב המצבים הוא האקסטרמום של הפעולה.

הסבר

הבעיות אליהן העקרון מתייחס נוגעות לדינמיקה עם אילוצים (constrained dynamics). כלומר, במקרה הכללי ביותר שלהן ישנן מספר מסות הנתונות להשפעת כוחות חיצוניים, כשמסות אלו נתונות לאילוצים על המצב שלהן; למשל, משקולתה של מטוטלת תיטה ליפול ישירות מטה בתאוצת הכובד g, אולם תנועתה מוגבלת לקשת מעגל על ידי חוט המטוטלת - כך שעל פי העקרון, תאוצתה תהיה הקרובה ביותר האפשרית לזו של נפילה חופשית, זאת בעוד היא עדיין תימצא במרחק קבוע מציר המטוטלת.

מינוח

• קונפיגורציה של מערכת היא מצב אפשרי שלה במרחב המצבים - בעבור N מסות במרחב תלת-ממדי ללא אילוצים, מדובר באוסף של 3N קואורדינטות מיקום ו-3N קואורדינטות תנע. במצב המערכת הכוונה היא לווקטור המצב $(X,{\dot {X}})$, כאשר X מייצג את המיקומים ו-${\dot {X}}$ מייצג את המהירויות.
• מערכת מאולצת היא מערכת בה וקטור המיקומים X חייב להימצא על יריעה המשוכנת במרחב ה-3N ממדי. בכוחות אילוץ הכוונה היא לכוחות שאינם מבצעים עבודה מכנית על המערכת במהלך התפתחותה. אם נסמן ב- $T_{X}$ את אוסף המהירויות האפשריות של המערכת עבור ווקטור מיקומים נתון X, אז בניסוח מתמטי פירוש התנאי הוא שאוסף הכוחות המאלצים הוא אורתוגונלי ל-$T_{X}$ (כלומר $T_{X}$ והמרחב הווקטורי הנפרש על ידי הכוחות המאלצים הם תת-מרחבים ניצבים). שימו לב גם ש-$T_{X}$ הוא המרחב המשיק ליריעה בכל נקודה.
• הבעיה המרכזית היא: בהינתן יריעת האילוצים והמצב הנוכחי $(X,{\dot {X}})$ של המערכת, למצוא את וקטור התאוצות ${\ddot {X}}$. מציאתו מאפשרת לקבוע את המסלול במרחב המצבים

$X(t)$. ניסוח בעיה זו הוא האנלוג של החוק השני של ניוטון $F=ma$ - הוא מתאר את האבולוציה המקומית של המערכת.

פרשנות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

הפיזיקאי היינריך הרץ פירש את העקרון של גאוס בכלים מתמטיים מגאומטריה דיפרנציאלית, תוך מתן ניסוח וריאציוני ייחודי נוסף למכניקה הקלאסית - עקרון העקמומיות המינימלית של הרץ (Hertz's principle of least curvature). הרץ פירש את התבנית הריבועית מהעקרון, אשר יש להביא ערכה למינימום, כמדד לעקמומיות הגאודזית של מסלול וקטור המצב של המערכת ביחס ליריעת האילוצים. כאשר לא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים (פרט לכוחות המאלצים), העקמומיות הגיאודזית מתאפסת, ומסלולי המערכת יהיו מסילות גאודזיות של היריעה.

דוגמאות

מטוטלת כפולה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ראו גם

• עקרון ד'אלמבר

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32606527עקרון האילוץ המינימלי של גאוס