פעולה (פיזיקה)

בפיזיקה, פעולה היא מונח במכניקה אנליטית הנגזר מ"עקרון הפעולה המינימלית", הגורס שניתן להבין את תנועתם של גופים על ידי כך שהם נעים במסלול שעבורו פונקציונל בשם 'פעולה' מקבל מינימום (או באופן כללי יותר אקסטרמום).

שבירה של קרן אור בעת מעבר בין שני תווכים בעלי מקדם שבירה שונה

הדוגמה הפשוטה ביותר לכך היא תנועת קרני אור. לפי חוקי האופטיקה ניתן להבין אותה באופן שהאור נע במסלול המהיר ביותר בין נקודת ההתחלה שלו לנקודת הסיום. לדוגמה נניח שמציל היושב בסוכת המצילים רואה אדם טובע בלב ים. המציל רוצה להגיע כמה שיותר מהר אל האיש הטובע, מה יהיה המסלול הכי מהיר אליו? המסלול המהיר ביותר לא יהיה הקו בין סוכת המציל לבין האיש הטובע, כיוון שהמציל רץ על החוף מהר יותר משהוא שוחה בים. לא קשה להיווכח שהמסלול הקצר ביותר מורכב מקו ישר על פני החוף, וקו ישר בתוך המים, והזווית בין שני המקטעים מקיימת את חוק סנל:

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

באותו אופן את חוק ההחזרה של האור (זווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה), ניתן להבין בכך שהאור בוחר את המסלול המהיר ביותר מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום, בהינתן שהאור חייב לפגוע במראה בדרכו.

מכאן שבאופטיקה גאומטרית הפעולה היא פשוט משך הזמן של תנועת האור. את הפעולה, שלרוב מסומנת ב-S, ניתן גם לרשום בתור אינטגרל לאורך המסלול של פונקציה הנקראת לגראנז'יאן:

$S=\int L(q,{\dot {q}},t)dt$

לפעולה יש יחידות של תנע זוויתי: אנרגיה כפול זמן (תנע כפול מרחק).

במקרה של אופטיקה גאומטרית הלגראנז'יאן הוא פשוט ההופכי של המהירות.

ז'וזף לואי לגראנז', שפיתח את המושגים הללו, הראה שאת חוקי הדינמיקה, כלומר את המכניקה הניוטונית ניתן להציג באופן דומה, רק שהלגראנז'יאן במקרה של מכניקה ניתן על ידי:

$L(q,{\dot {q}},t)=T(q,{\dot {q}},t)-U(q,{\dot {q}},t)$

לגראנז' גם פיתח תורה הנקראת חשבון ואריאציות המאפשרת למצוא את המסלול שמצמצם את הפעולה. הוא הראה שהמסלול שעבורו הפעולה היא מינימלית מקיים את מה שקרוי היום משוואת אוילר לגראנז':

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}$

פעולה במכניקת הקוונטים

הפיזיקאי האמריקני ריצ'רד פיינמן הראה שלפעולה יש משמעות עמוקה גם במכניקת הקוונטים. פיינמן הראה שאת חוקי הקוונטים ניתן לראות באופן שההסתברות שחלקיק יגיע מנקודת ההתחלה אל נקודת הסיום נתונה על ידי סכימה של כל המסלולים האפשריים, כאשר הפאזה שניתנת לכל מסלול בחיבור נתונה על ידי הפעולה לאורך אותו מסלול. שיטה זאת קרויה אינטגרלי מסלול,

$\ \langle x_{f},t_{f}|x_{i},t_{i}\rangle =\int Dx(t)e^{{\frac {i}{\hbar }}S[x(t)]}$

והיא הבסיס לאלקטרודינמיקה הקוונטית.

כדי להבין זאת ניתן להיעזר בדוגמה של ניסוי שני הסדקים. אור יוצא ממקור אור, עובר דרך קיר ובו שני סדקים, ולבסוף מגיע למסך. על המסך נוצרת תמונת התאבכות: נוצר סריג של נקודות מוארות ונקודות חשוכות. את ההסבר לכך ניתן לראות בכך שלאור יש שני מסלולים להגיע מנקודת ההתחלה אל נקודת הסיום: הוא יכול לעבור דרך הסדק העליון או דרך הסדק התחתון, כך שאל המסך מגיעים למעשה שני גלים. בנקודות שבהם שני הגלים מתואמים, כלומר הם באותה פאזה, הם מתחברים בצורה בונה והנקודות הופכות מוארות. כאשר הגלים מגיעים בפאזה הפוכה (אחד מקסימום והשני מינימום) אזי הם מתחברים בצורה הורסת ובנקודות אלו יש חושך.

פעולה מינימלית בקוונטים הקשר בין אינטגרלי מסלול לפעולה מינימלית, ניתן בכך שליד נקודות שבהם הפעולה מינימלית, כלומר ליד המסלולים הקלאסיים של חלקיקים, הפעולה לא משתנית הרבה ולכן המסלולים מתחברים עם פאזה דומה, ומכאן שהמשקל של המסלולים האלו הוא רב. לעומת זאת מסלולים שרחוקים מאד מהמסלול הקלאסי, בהם הפאזה משתנה מאד מהר ולכן המסלולים השונים מבטלים זה את זה ותרומתם לחיבור כל המסלולים יחד היא זניחה.