חלקיק חופשי

בפיזיקה חלקיק חופשי הוא חלקיק הנע באופן חופשי ללא השפעת שום כוח (לא נע תחת שום השפעה של פוטנציאל חיצוני).

בעיית החלקיק החופשי היא אחת הבעיות הפיזיקליות הפשוטות ביותר וניתנת לפתרון באופן מדויק במסגרות תאורטיות שונות (מכניקה קלאסית, מכניקה קוונטית ועוד). הבעיה משמשת כדוגמה ראשונית בלימוד התאוריות הנ"ל ובסיס לפתרון בעיות מסובכות יותר.

במכניקה קלאסית

עבור חלקיק הנע במימד אחד, הצבת $F=0$ בחוק השני של ניוטון, נותנת:

$\ m{\ddot {x}}=0$.

פתרון המשוואה על ידי אינטגרציה נותן את משוואת התנועה של חלקיק חופשי במימד אחד:

$\ x(t)=x_{0}+v_{0}t$

כאשר $\ x_{0},v_{0}$ הם קבועים שנקבעים לפי תנאי ההתחלה.

ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה משוואת התנועה תהיה:

$\ {\vec {x}}(t)={\vec {x_{0}}}+{\vec {v_{0}}}t$

מן הפתרונות ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה בקו ישר.

במכניקה אנליטית

הלגרנז'יאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:

$\ L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$

עבור חלקיק רב-ממדי, ${\vec {x}}$ יהיה וקטור d-ממדי, ואז:

$\ L={\frac {1}{2}}m\left({\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\right)^{2}$

מביטויים אלו ניתן לקבל את משוואת התנועה של חלקיק חופשי באמצעות משוואות אוילר-לגראנז'.

ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:

$\ H={\frac {p^{2}}{2m}}$

כאשר p הוא התנע של החלקיק.

במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים החלקיק החופשי מתואר על ידי פונקציית גל שפותרת את משוואת שרדינגר

$\ i\hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}})}{\partial t}}=H\psi ({\vec {x}})$

כאשר

$\ H={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}$

הוא ההמילטוניאן של חלקיק חופשי.

הפונקציות העצמיות הן גלים מישוריים

$\ \psi ({\vec {x}})={\frac {1}{\sqrt {V}}}e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}/\hbar }={\frac {1}{\sqrt {V}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$

ומתאימים למצב בו לחלקיק יש תנע מוגדר. האנרגיות שלהם הן

$\ \hbar \omega =E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$

הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים:

$\left.\right.\psi ({\vec {x}},t)=\int \phi ({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)}d{\vec {k}}$

אינטגרל מסלול של חלקיק חופשי הוא:

$\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=G(x_{f},t;x_{0},0)={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar t}}}\exp {\left({\frac {im}{2\hbar t}}(x_{f}-x_{0})^{2}\right)}$

בתורת שדות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ראו גם

• נפילה חופשית
• תנועה בליסטית