סדרת מאייר-ויאטוריס

סדרת מאייר-ויאטוריס (Mayer–Vietoris sequence) היא סדרה מדויקת המקשרת את חבורות ההומולוגיה של מרחב טופולוגי אל חבורות ההומולוגיה של כיסוי טוב שלו. היא מהווה כלי מרכזי ובסיסי לחישוב ההומולוגיה של מרחב טופולוגי, ובמובן מסוים מהווה מקבילה למשפט ואן קמפן בחישוב החבורה היסודית.

הסדרה נקראת על שם שני המתמטיקאים האוסטרים לאופולד ויאטוריס ווולטר מאייר, שעסקו רבות בטופולוגיה.

הגדרה

העתקות ההכלה

יהי $X$ מרחב טופולוגי. כעת, יהיו $U,V$ שני תתי-מרחבים של $X$, המהווים כיסוי טוב של המרחב (כלומר, איחוד הפנימים שלהם שווה למרחב: $\operatorname {int} (U)\cup \operatorname {int} (V)=X$), ונניח שחיתוכים לא ריק. מתקבלת הדיאגרמה בימין, כאשר ההעתקות הן העתקות ההכלה.

נביט בסדרה הבאה:

$0\longrightarrow C_{n}(U\cap V){\overset {a\mapsto (i_{\#}(a),-j_{\#}(a))}{\longrightarrow }}C_{n}(U)\oplus C_{n}(V){\overset {(a,b)\mapsto k_{\#}(a)+l_{\#}(b)}{\longrightarrow }}C_{n}(X)\longrightarrow 0$

לכן, מתקבלת סדרה מדויקת של חבורות ההומולוגיה:

$\dots \longrightarrow H_{n}(U\cap V)\longrightarrow H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\longrightarrow H_{n}^{U,V}(X)\longrightarrow H_{n-1}(U\cap V)\longrightarrow \dots$

כאשר $H_{n}^{\{U,V\}}(X)$ היא חבורת ההומולוגיה ביחס לכיסוי. כעת, משפט חשוב קובע כי העתקת ההכלה $i:C_{n}^{\{U,V\}}(X)\to C_{n}(X)$ משרה איזומורפיזם $i_{*}:H_{n}^{\{U,V\}}(X)\to H_{n}(X)$, ולכן (אם מרכיבים הומומורפיזם זה בדיאגרמה) מתקבלת סדרת מאייר-ויאטוריס:

$\dots \longrightarrow H_{n}(U\cap V)\longrightarrow H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\longrightarrow H_{n}(X)\longrightarrow H_{n-1}(U\cap V)\longrightarrow \dots$

לרוב נוח להשתמש בסדרת מאייר-ויאטוריס על חבורות ההומולוגיה המצומצמות:

$\dots \longrightarrow {\tilde {H}}_{n}(U\cap V)\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}(U)\oplus {\tilde {H}}_{n}(V)\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}(X)\longrightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(U\cap V)\longrightarrow \dots$

טבעיות

האיזומורפיזם $i_{*}:H_{n}^{\{U,V\}}(X)\to H_{n}(X)$ שהוזכר לעיל הוא למעשה איזומורפיזם טבעי ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי. כלומר, נניח שנתונים שני מרחבים טופולוגיים בעלי כיסויים טובים $\operatorname {int} (A_{1})\cup \operatorname {int} (B_{1})=X_{1}$ ,$\operatorname {int} (A_{2})\cup \operatorname {int} (B_{2})=X_{2}$, והעתקה $f:X_{1}\to X_{2}$ רציפה המכבדת את הכיסויים (כלומר, $f(A_{1})\subseteq A_{2},f(B_{1})\subseteq B_{2}$. אז ההעתקות בסדרת מאייר-ויאטוריס (ובעיקר ההעתקה המחברת) מתחלפות עם ההעתקה המושרית $f_{*}$, ומקבלים דיאגרמה מתחלפת:

בפרט, המעבר מ-$H_{n}^{\{U,V\}}(X)$ אל $H_{n}(X)$ בסדר מאייר-ויאטוריס הוא טבעי.

לטענה זו מספר שימושים, בעיקר בשילוב עם העובדה שהאיזומורפיזם בין ההומולוגיה הראשונה אל האבליניזציה של החבורה היסודית הוא טבעי - ניתן להבין כך העתקות לא טריוויאליות בסדרת מאייר-ויאטוריס ולחשב את החבורות (ראו בדוגמאות).

דוגמאות

ספירות

כיסוי טוב של הספירה $S^{2}$

נוכיח שחבורות ההומולוגיה של הספירות הן

${\tilde {H}}_{i}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=n\\0&i\neq n\end{cases}}$.

נחלק את הספירה לשתי המיספירות עם קצת חיתוך: $B=\{{\bar {x}}\in S^{n}:x_{n}<-{\frac {1}{10}}\}$, $A=\{{\bar {x}}\in S^{n}:x_{n}>{\frac {1}{10}}\}$. שתיהן כוויצות, ולכן ${\tilde {H_{i}(A)}}={\tilde {H_{i}(B)}}=0$. לכן מסדרת מאייר-ויאטוריס אפשר להסיק:

$0\to {\tilde {H}}_{i}(S^{n})\to {\tilde {H}}_{i-1}(S^{n-1})\to 0$

כלומר יש איזומורפיזם, ומסיימים באינדוקציה.

מסקנות

1. אפשר להסיק שהשפה של דיסק איננה נסג שלו, אחרת היה מונומורפיזם $\mathbb {Z} ={\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\hookrightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(D^{n})=0$ (זהו מקרה פרטי של משפט בורסוק-אולם).
2. משפט נקודת השבת של בראוור - המשפט טוען כי לכל פונקציה רציפה $f:D^{n}\to D^{n}$ יש נקודת שבת. מוכיחים אותו בשלילה: אחרת, ניתן להגדיר נסיגה $r:D^{n}\to \partial D^{n}$ על ידי $r(x)$ יהיה נקודת החיתוך של הקו מ-$x$ ל-$f(x)$ עם הספירה. מגיעים לסתירה למסקנה לעיל.

שיקופים, נקודות שבת ושדות וקטוריים

בסעיף זה נראה, בעזרת הטבעיות של סדרת מאייר-ויאטוריס, טענות מגאומטריה דיפרנציאלית.

ניישם את הטבעיות למקרה לעיל של הספירות; נוכיח כי השיקוף $R_{i}:S^{n}\to S^{n},^{n}R_{i}(x_{1}\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,-x_{i},\dots ,x_{n})$, משרה את $-\operatorname {id}$ על חבורת ההומולוגיה. ההוכחה באינדוקציה - הטענה עבור $n=0$ ברורה; כעת, נחלק את הספירה לכיסוי טוב כלעיל, אך נדאג ש-$A,B$ לא יבחרו בציר השיקוף $i$ (כדי שהשיקוף יכבד את הכיסוי); נשתמש בטבעיות:

כאשר החלק האדום נכון באינדוקציה. לכן: $^{n}R{_{i_{*}}}(z)=\Delta ^{-1}(^{n-1}R{_{i_{*}}}(\Delta (z)))=\Delta ^{-1}(-\Delta (z))=-z$ כדרוש.

מהטענה לעיל ניתן להעסיק כי כאשר $n=2k$ זוגי, ההעתקה האנטיפודית $A:S^{n}\to S^{n},A(v)=-v$ איננה הומוטופית לזהות $\operatorname {id} :S^{n}\to S^{n}$, שכן שתיהן משרות העתקות שונות על ההומולוגיה: הזהות את הזהות, אך האנטיפודית היא הרכבה של $2k+1$ שיקופים, ולכן משרה את $(-1)^{2k+1}\operatorname {id} =-\operatorname {id}$.

טענה טכנית נוספת היא - אם $f,g:S^{n}\to S^{n}$ כ ש-$f(x)\neq g(x)$ לכל $x\in S^{n}$, אז $f\sim g$ (רואים זאת על ידי ההומוטופיה $H(x,t)={\frac {(1-t)f(x)+fg(x)}{||(1-t)f(x)+fg(x)||}}$).

מהטענות לעיל ניתן להסיק כי כאשר $n$ זוגי, לכל העתקה רציפה $f:S^{n}\to S^{n}$ יש נקודה בה $f(x)=x$ או $f(x)=-x$ - אחרת $f\neq \operatorname {id}$ ולכן $f\sim -\operatorname {id} =A$, וגם $f\neq -\operatorname {id}$ ולכן $f\sim \operatorname {id}$, וביחד $\operatorname {id} \sim A$ בסתירה לנאמר לעיל.

מטענה זו ניתן להסיק גם כי כל העתקה רציפה מהמרחב הפרויקטיבי הממשי מממד זוגי $f:\mathbb {R} P^{n}\to \mathbb {R} P^{n}$ יש נקודת שבת. ניתן גם להסיק כי כל שדה וקטורי של הספירה מממד זוגי חייב להתאפס.

לכל הטענות יש דוגמה נגדית כאשר $n$ אי-זוגי.

n-זר

n-זר של ספירות הוא איחוד נקודתי שלהן - $S^{k_{1}}\vee \dots \vee S^{k_{n}}$. בעזרת סדרת מאייר ויאטוריס ואינדוקציה ניתן להראות שמתקיים

${\tilde {H}}_{i}(S^{k_{1}}\vee \dots S^{k_{t}})=\mathbb {Z} ^{\sum _{j=1}^{n}{\delta _{i,k_{j}}}}$

כלומר, זו חבורה אבלית חופשית מסדר כמספר הממדים של הספרות ששווה לסדר החבורה.

משטחים סגורים

את הסעיף הקודם ניתן להכליל ולחשב את חבורות ההומולוגיה של כל המשטחים הסגורים: ממיונם ידוע שהם כוללים את הספירות, ה-n-טורוסים וה-n-מישורים פרויקטיביים.

n-טורוס

כדי להשתמש בסדרת מאייר-ויאטוריס, ניקח את $U$ להיות עיגול קטן על ה-$n$-טורוס, ואת $V$ להיות כל השאר, עם טבעת חפיפה (כמו במשפט ואן קמפן). אז נקבל $V\cong *,U\cap V\cong S^{1}$; התיאור של $U$ הוא גאומטרי - לאחר הוצאת דיסק מהטורוס ניתן להרחיב את החור סביב הכיוונים האופקי והאנכי, ואז מקבלים מרחב השקול ל-$2n$-זר, וההומולוגיה שלו חושבה בסעיף לעיל. אם כן הסדרה היא

$\cdots \longrightarrow {\begin{matrix}0\\{\tilde {H}}_{3}(U\cap V)\end{matrix}}\longrightarrow {\begin{matrix}0\\{\tilde {H}}_{3}(U)\oplus {\tilde {H}}_{3}(V)\end{matrix}}\longrightarrow {\begin{matrix}0\\{\tilde {H}}_{3}(X)\end{matrix}}\longrightarrow$

$\longrightarrow {\begin{matrix}0\\{\tilde {H}}_{2}(U\cap V)\end{matrix}}\longrightarrow {\begin{matrix}0\\{\tilde {H}}_{2}(U)\oplus {\tilde {H}}_{2}(V)\end{matrix}}\longrightarrow {\begin{matrix}\mathbb {Z} \\{\tilde {H}}_{2}(X)\end{matrix}}\longrightarrow$

$\longrightarrow {\begin{matrix}\mathbb {Z} \\{\tilde {H}}_{1}(U\cap V)\end{matrix}}{\overset {1\to ({\bar {0}},0)}{\longrightarrow }}{\begin{matrix}{\mathbb {Z} }^{2n}\\{\tilde {H}}_{1}(U)\oplus {\tilde {H}}_{1}(V)\end{matrix}}\longrightarrow {\begin{matrix}{\mathbb {Z} }^{2n}\\{\tilde {H}}_{1}(X)\end{matrix}}\longrightarrow 0$

כאשר את ההעתקה ${\tilde {H}}_{1}(U\cap V)\to {\tilde {H}}_{1}(V)$ מבינים לפי ההערה לעיל על הטבעיות - ההעתקה המקבילה עבור החבורה היסודית היא (כאמור בחישוב המקביל בערך על משפט ואן קמפן) $a\mapsto [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{n},b_{n}]$, ובמקרה שלנו החבורות אבליות ולכן ההעתקה היא אכן העתקת האפס. שאר החישוב הוא לפי דיוק הסדרה.

n-מישור פרויקטיבי

החלוקה לסביבות היא בדיוק כמו ב-$n$-טורוס. במקרה זה, ההעתקה החשובה שנורשת מהחישוב של החבורה היסודית היא $a\to a_{1}^{2}\dots a_{n}^{2}$, והחבורות הן:

${\tilde {H}}_{i}(nP)={\begin{cases}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{n-1}&i=1\\0&i\neq 1\end{cases}}$

מתיחה של מרחב

המתיחה של מרחב טופולוגי $X$ מוגדרת להיות $SX=(X\times I)/\{(x_{1},0)\sim (x_{2},0),(x_{1},1)\sim (x_{2},1){\mbox{ for all }}x_{1},x_{2}\in X\}$. ההומולוגיה של המתיחה עולה מדרגה אחת מההומולוגיה של המרחב עצמו, כלומר ${\tilde {H}}_{n}(X)={\tilde {H}}_{n+1}(SX)$. טענה זו מוכיחים בעזרת סדרת מאייר-ויאטוריס - נגדיר

$V=X\times \left[{\frac {1}{2}},1\right]/\sim$, $U=X\times \left[0,{\frac {1}{2}}\right]/\sim$

שניהם מרחבים כוויצים, שכן יש נסג עיוותי אל בבסיסים $X\times \{1\}$,$X\times \{0\}$, והם מכווצים לנקודה. החיתוך הוא $X\times \left\{{\frac {1}{2}}\right\}$ שהומיאומורפי ל-$X$ (היחס לא משפיע עליו). לכן, לפי הסדרה:

$0={\tilde {H}}_{n+1}(U)\oplus {\tilde {H}}_{n+1}(V)\to {\tilde {H}}_{n+1}(SX)\to {\tilde {H}}_{n}(X)\to {\tilde {H}}_{n}(U)\oplus {\tilde {H}}_{n}(V)=0$

מתקבל איזומורפיזם.

משפט העקומה של ז'ורדן

משפט העקומה של ז'ורדן קובע כי עקומה סגורה רציפה במישור מחלקת אותו לשני חלקים, כלומר לשני רכיבי קשירות.

על אף שהוא דיי אינטואיטיבי, אין לו הוכחה פשוטה. אחת ההוכחות הקלות למשפט נתונות בעזרת הומולוגיה: למעשה, בהינתן שיכון $f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$, המשפט טוען שהמרחב $\mathbb {R} ^{2}\setminus f(S^{1})$ הוא בעל שני רכיבי קשירות, כלומר שחבורת ההומולוגיה האפס של המרחב היא $\mathbb {Z} ^{2}$. את החבורה הזו ניתן לחשב בעזרת סדרת מאייר-ויאטוריס - מחלקים את $S^{1}$ לחצי העיגול העליון $A$ וחצי העיגול התחתון $B$, ומשתמשים בסדרה עבור $U=\mathbb {R} ^{2}\setminus f(A),V=\mathbb {R} ^{2}\setminus f(B)$.

הומולוגיה של מרחב CW

סדרת מאייר-ויאטוריס היא כלי חשוב העוזר בפיתוח שיטה כללית ואלגוריתמית לחישוב כל חבורות ההומולוגיה של מרחבי CW סוף-ממדיים מסוימים. יש שימושים חוזרים ונשנים בסדרת מאייר-ויאטוריס בהוכחת השיטה.