נסג

בטופולוגיה אלגברית, נסג (Retract) של מרחב טופולוגי הוא תת-מרחב אליו אפשר לסגת מהמרחב כולו על ידי פונקציה רציפה. נסג עיוותי (Deformation retract) הוא, אינטואיטיבית, תת-מרחב אליו ניתן להשתנות (או להתעוות) מהמרחב כולו בצורה רציפה.

אחת השאלות הבסיסיות בטופולוגיה אלגברית היא אילו תתי מרחבים של מרחב טופולוגי הם נסג/נסג עיוותי שלו.

הגדרה

יהי $X$ מרחב טופולוגי, ו-$A\subseteq X$ תת-מרחב שלו. נאמר כי $A$ הוא נסג של $X$, אם קיימת העתקה רציפה $r:X\rightarrow A$ כך ש-$\forall a\in A:r(a)=a$. המיפוי $r$ נקרא לעיתים נסיגה.

בשקילות, אם נסמן ב-$i_{A}$ את העתקת ההכלה $i:A\rightarrow X,i(a)=a$ יש לדרוש כי $r\circ i_{A}=id_{A}$, פונקציית הזהות על $A$.

$A$ ייקרא נסג עיוותי (Deformation retract) אם קיימת הומוטופיה $H:X\times [0,1]\rightarrow X$ כך ש-

$\forall x\in X:H(x,0)=x$

$\forall a\in A,t\in [0,1]:H(a,t)=a$

$\forall x\in X:H(x,1)\in A$

ההומוטפיה $H$ נקראת לעיתים נסיגה עוויתית. במילים אחרות, $H$ כזו היא הומוטופיה בין העתקת הזהות והעתקת נסיגה.

הערה: לעיתים בהגדרת נסג עיוותי מחלישים את הדרישה השנייה ל-$\forall a\in A:H(a,1)=a$, ואז להגדרה לעיל קוראים נסג עיוותי חזק. לאורך הערך נעסוק רק בנסג עיוותי חזק, וכאן הוא ייקרא פשוט נסג עיוותי.

נסגים והחבורה היסודית

קיים קשר הדוק בין נסגים לבין החבורה היסודית הראשונה של מרחב קשיר מסילתית $X$ סביב (כל) נקודה $a$, אותה נסמן ${\pi }_{1}(X,a)$.

ראשית, אם $A\subseteq X$ נסג ו-$i:A\rightarrow X$ העתקת ההכלה, אז ההעתקה ${i}_{*}:{\pi }_{1}(A,a)\rightarrow {\pi }_{1}(X,a)$, הנתונה על ידי ${i}_{*}([\phi ])=[i\circ \phi ]$ היא חד חד ערכית. יתרה מזאת, אם $A$ נסג עיוותי, ${i}_{*}$ איזומורפיזם חבורות. כלומר - למרחב טופולוגי ולנסג עיוותי שלו אותה חבורה יסודית.

טענות אלו עוזרות להראות למשל שתתי מרחבים מסוימים אינם מהווים נסג (ראו דוגמאות).

דוגמאות

• בקבוצה קמורה (עם הטופולוגיה הממשית סטנדרטית) כל תת-מרחב הוא נסג.
• כל נסג עיוותי הוא נסג.
• נסג של מרחב כוויץ הוא מרחב כוויץ.
• הספירה ה-$n$ ממדית $S^{n}$ במרחב ${\mathbb {R} }^{n+1}-\{{\overline {0}}\}$ היא נסג עיוותי, על ידי ההעתקה $H(x,t)=\left((1-t)+{t \over \|x\|}\right)x$
• $S^{1}$ איננו נסג של העיגול ה-2 ממדי $D$, לפי השיקול לעיל על החבורות היסודיות - כאן ${\pi }_{1}({S}^{1},1)=\mathbb {Z}$, אבל ${\pi }_{1}(D,1)=\{0\}$, ואין בין הראשונה לשנייה העתקה חד חד ערכית! מתוצאה זו ניתן להסיק בקלות את משפט נקודת השבת של בראואר.
• $S^{1}$ נסג עיוותי של העיגול ה-2 ממדי בלי הראשית, $D-\{0\}$, ולכן יש להם אותה חבורה יסודית, כלומר ${\pi }_{1}(D-\{0\},1)=\mathbb {Z}$.
• השפה של טבעת מביוס איננה נסג של הטבעת.
• לכל $x\in S^{1}$, תת-המרחב $S^{1}\times \{x\}\subseteq S^{1}\times S^{1}$ של הטורוס הוא נסג אך לא נסג עיוותי.

ראו גם

• הומוטופיה (טופולוגיה)