פונקציה הומוגנית

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר $ n $ היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע $ c $, ערך הפונקציה מוכפל ב־$ c^{n} $.

הגדרה מפורטת

תהי $ f\colon V\rightarrow W $ פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה $ F $, ויהי $ k $ מספר שלם. אזי הפונקציה $ f $ תיקרא הומוגנית מסדר $ k $ אם $ f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} ) $ לכל $ \alpha \in F $ שונה מאפס, ולכל $ v\in V $.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר $ k $ כאשר הדרישה $ f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} ) $ צריכה להתקיים רק עבור $ \alpha $ חיובי, ו-$ k $ יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאות

העתקות ליניאריות

כל העתקה ליניארית $ f\colon V\rightarrow W $ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: $ f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} ) $ לכל $ \alpha \in F $ ולכל $ v\in V $ .

פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד-איבר) ב-$ n $ משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית $ f\colon F^{n}\to F $. לדוגמה שטח של ריבוע - $ \ S\left(a\right)=a^{2} $ - הוא מונום הומוגני $ f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $ מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר $ S\left(ca\right)=c^{2}a^{2}=c^{2}S(a) $.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: $ \ x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4} $ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם $ f $ הוא פולינום הומוגני מסדר $ m $ ו-$ g $ הוא פולינום הומוגני מסדר $ n $, אזי $ {\frac {f}{g}} $ היא פונקציה הומוגנית מסדר $ m-n $ בכל הנקודות חוץ מבשורשים של $ g $.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: $ {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+2y+3z)^{2}}} $, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיות

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - $ \ E_{k}\left(m,v\right)={\frac {1}{2}}mv^{2} $ - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - $ E_{k}\left(m,cv\right)={\frac {1}{2}}mc^{2}v^{2} $, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים $ E_{k}\left(cm,v\right)={\frac {1}{2}}cmv^{2} $ .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן $ t $ נתון על ידי $ \ N\left(N_{0},t,\tau \right)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}} $, ובעוד שמתקיים $ \ N\left(cN_{0},t,\tau \right)=cN\left(N_{0},t,\tau \right) $, קרי $ N $ היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור $ N_{0} $, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות

ניסוח המשפט

תהי $ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ פונקציה חלקה אזי $ f $ הומוגנית חיובית מסדר $ k $ אם ורק אם:

$ \ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=kf(\mathbf {x} ) $.

הוכחה

$ \Leftarrow $: תהי $ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: $ f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} ) $. נגזור את שני האגפים לפי $ a $ ונקבל: $ {\frac {\mathrm {d} f(a\mathbf {x} )}{\mathrm {d} a}}=\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=ka^{k-1}f(\mathbf {x} ) $.

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל $ a $, נציב $ \ a=1 $ ונקבל: $ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ) $.

$ \Rightarrow $: תהי $ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ פונקציה חלקה המקיימת $ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ) $ לכל $ \mathbf {x} $.

נבחר $ \mathbf {x} $ כלשהו ונגדיר: $ \ g(a)=a^{-k}f(a\mathbf {x} ) $.

כעת: $ {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} a}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} ) $.

נציב: $ a\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=kf(a\mathbf {x} ) $.

ונקבל: $ {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} a}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}{\frac {kf(a\mathbf {x} )}{a}}=0 $. לכן $ g $ היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: $ g(1)=f(\mathbf {x} ) $ לכן לכל $ a>0 $ מתקיים $ g(a)=f(\mathbf {x} ) $. כלומר $ f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} ) $

תוצאה

עבור פונקציה $ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ גזירה והומוגנית חיובית מסדר $ k $ נקבל ש-$ {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}} $ היא הומוגנית מסדר $ k-1 $. כלומר:

$ \left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{cx}=c^{k-1}\left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{x} $.

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי $ x_{i} $. שכן על פי משפט אוילר:

$ \ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ) $.

נגזור לפי $ \ x_{i} $ ונקבל:

$ {\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ))}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=k{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}} $.

ולכן:

$ \mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=(k-1){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}} $. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים

• פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה הומוגנית33141373Q1132952