משפט רושה

באנליזה מרוכבת, משפט רושה מאפשר להסיק שבתנאים מסוימים, לשתי פונקציות הולומורפיות יש אותו מספר אפסים בתחום נתון. זהו משפט שימושי באיתור אפסים של פונקציות, משום שהוא מאפשר להשוות פונקציה מסובכת לפונקציה פשוטה, שהאפסים שלה ידועים. המשפט נובע מעקרון הארגומנט.

ניסוח המשפט

נניח כי $D\subseteq \mathbb {C}$ הוא תחום פתוח ששפתו היא מסילה פשוטה; למשל, מעגל או מצולע. נניח כי $f,h$ שתי פונקציות הולומורפיות על התחום, ורציפות על השפה. אם ${\bigl |}f(z)-h(z){\bigr |}<{\bigl |}h(z){\bigr |}$ לכל נקודה $z$ על השפה, אזי לפונקציות $f,h$ יש אותו מספר אפסים בתחום, כאשר כל אפס נספר בריבוי המתאים.

דוגמה

לפונקציה $f(z)=3z+e^{z}$ יש בעיגול היחידה $|z|<1$ אותו מספר אפסים כמו ל-$h(z)=3z$ , משום ש-

${\bigl |}f(z)-h(z){\bigr |}={\bigl |}3z+e^{z}-3z{\bigr |}=|e^{z}|<|3z|$

לכל $z$ על שפת המעגל. ל-$h(z)=3z$ יש אפס בודד בתחומי המעגל, ולכן כך הדבר גם עבור הפונקציה $f$ .

הוכחה

עבור $t\in [0,1]$ נגדיר פונקציה $h_{t}(z)=(1-t)h(z)+tf(z)$ . נבחין כי $h_{t}$ גם היא פונקציה הולומורפית על $D$ ורציפה על ${\bar {D}}$ .

כעת נראה כי לכל $z\in \partial D$ מתקיים $h_{t}(z)\neq 0$ . מאי-שוויון המשולש ההפוך מתקיים:

${{\bigl |}h_{t}(z){\bigr |}={\Big |}h(z)-t{\bigl (}h(z)-f(z){\bigr )}{\Big |}\geq {\bigl |}h(z){\bigr |}-{\Big |}t{\bigl (}h(z)-f(z){\bigr )}{\Big |}\geq {\bigl |}h(z){\bigr |}-{\bigl |}h(z)-f(z){\bigr |}}$

ואמנם, מהנתון ידוע ${\bigl |}h(z){\bigr |}-{\bigl |}h(z)-f(z){\bigr |}>0$ , לכן באמת ${\bigl |}h_{t}(z){\bigr |}>0$ כמו שרצינו.

למעשה, עכשיו אנו יכולים להשתמש בעקרון הארגומנט על $h_{t}$ . כאמור $h_{t}$ הולומורפית, לכן אין לה קטבים בתחום, ולפי עקרון הארגומנט מספר האפסים שלה הוא בדיוק ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {h_{t}'(z)}{h_{t}(z)}}dz$ .

כעת נגדיר פונקציה חדשה: $\varphi (t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {h_{t}'(z)}{h_{t}(z)}}dz$ . מרציפות האינטגרל $\varphi$ רציפה על הקטע הסגור $[0,1]$ .

בנוסף אנו יודעים כי $\varphi$ מקבלת רק ערכים שלמים, לכן ממשפט ערך הביניים נובע כי $\varphi$ פונקציה קבועה.

בפרט נובע כי $\varphi (0)=\varphi (1)$ . כלומר, מספר האפסים של $h$ שווה למספר האפסים של $f$ .