משוואות קושי-רימן

באנליזה מרוכבת ואנליזה הרמונית, משוואות קושי־רימן הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שאותן מקיימים שני הרכיבים (הממשי והמרוכב) של כל פונקציה אנליטית מרוכבת. בכיוון ההפוך, אם הפונקציות הממשיות $\ u(x,y),v(x,y)$ הן דיפרנציאביליות ומקיימות את המשוואות, אז $\,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ היא פונקציה אנליטית. תנאי זה לאנליטיות של $\ f$ נקרא תנאי קושי־רימן.

ניסוח פורמלי

תהי $\ f(z)=f(x+iy)$ פונקציה מרוכבת, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות $\ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ .

משוואות קושי-רימן הן שתי המשוואות הדיפרנציאליות הבאות:

$\ (1)\quad {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\quad ,(2)\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

תנאי קושי־רימן

תנאי קושי־רימן לגזירות מנוסח באופן הבא:

פונקציה $\ f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ גזירה בנקודה $\ z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ אם ורק אם $\ u(x,y),v(x,y)$ דיפרנציאביליות בנקודה $\ z_{0}=(x_{0},y_{0})$ ומשוואות (1) ו־(2) לעיל מתקיימות עבור $\ (x_{0},y_{0})$ .

משוואות (1) ו־(2) לעיל נובעות למעשה, ממשוואת קושי־רימן ההומוגנית:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$

כך שאם נציב את $\ u,v$ במשוואה האחרונה, נקבל את המשוואות הקודמות. ניסוח זה נוח במיוחד כאשר רוצים לבדוק את קיום תנאי קושי־רימן אצל פונקציות שקשה להפריד אותן לחלק ממשי ולחלק מדומה, למשל: $\ f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ .

כמו כן, אם נשתמש בקשרים $\ x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})$ ונפעיל את כלל השרשרת על משוואת קושי-רימן ההומוגנית, נקבל את התנאי ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ , שהוא בפני עצמו מעיד על אנליטיות של פונקציה. כלומר אם הנגזרת של $f$ לפי ${\bar {z}}$ מתאפסת רק בנקודות מסוימות, אנחנו כבר יודעים שהפונקציה $f$ אנליטית אך ורק בנקודות אלה. בנוסף, אם $\ f=u+iv$ אנליטית, אז גם $\ g=-v+iu$ אנליטית. נשים לב שעם ההגדרה הנ"ל עבור $\ x,y$ אנו יכולים להגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:

$\ {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}})\quad ,\quad {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}})$

ובדרך זו אנו מקבלים ביטוי לאופרטור לפלס בשני משתנים: $\ 4{\frac {\partial ^{2}}{\partial z\partial {\bar {z}}}}=\Delta$

כלומר, פונקציה מרוכבת המקיימת את משוואות קושי־רימן בנקודה מסוימת מקיימת את משוואת לפלס באותה נקודה.

ממשוואות קושי־רימן ניתן להסיק כי קווי הגובה של הפונקציות $\ u,v$ הם אורתוגונליים, כי המכפלה הסקלרית של הגרדיאנטים של $\ u,v$ מתאפסת:

$\nabla u\cdot \nabla v=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=-u_{x}u_{y}+u_{y}u_{x}=0$

מהוכחת משוואות קושי־רימן ניתן גם לקבל את ערך הנגזרת של הפונקציה. בשל הקשר בין הנגזרות החלקיות שבא לידי ביטוי במשוואות קושי־רימן, די בשתיים מהנגזרות החלקיות כדי לבטא את הנגזרת בשלמותה. ביטוי אחד לנגזרת הוא $\ f'(z)=u_{x}+iv_{x}$ .

כמו כן, אם נתונה לנו למשל הפונקציה $u$ והיא הרמונית בתחום מסוים, אז ניתן לקבל על ידי משוואות קושי־רימן את הפונקציה $v$ , שתיקרא ההרמונית הצמודה של $u$ , ולכן נוכל לקבל גם את הפונקציה $f$ , שתהיה אנליטית בתחום ההרמוניות של $\ u,v$ .

הוכחה

הוכחת הכרחיות

נוכיח כי אם פונקציה מרוכבת גזירה, אז היא מקיימת את משוואות קושי רימן.

תהי $\ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ גזירה בנקודה $\ z_{0}$. אז מתקיים $\ f'(z)=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$ לכל כיוון שבו נבחר להשאיף את $\ \Delta z$ לנקודה $\ z_{0}$ .

בפרט יתקיים השוויון אם נבחר $\ \Delta z=\Delta x$ , כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת $\ y$ שלנו קבועה. כלומר מתקיים:

$\ f'(z)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}i{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+iv_{x}(x_{0},y_{0})$

כלומר קיבלנו:

$\ f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}$

כמו כן יתקיים השוויון אם נבחר $\ \Delta z=i\Delta y$, כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת $\ x$ שלנו קבועה. כלומר מתקיים:

$\ f'(z)=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y}}=$

$=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{\frac {u(x_{0},y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+\lim _{\Delta y\rightarrow 0}i{\frac {v(x_{0},y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=-iu_{y}(x_{0},y_{0})+v_{y}(x_{0},y_{0})$

כלומר קיבלנו:

$\ f'(z)=-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}$

נשווה את שתי התוצאות שקיבלנו:

$\ {\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}=-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}$

מהשוואת החלק הממשי נקבל את המשוואה $\ {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ .

מהשוואת החלק המדומה נקבל את המשוואה $\ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$ .

לקריאה נוספת

• Ablowitz M. J. & Fokas A. S., Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 1997

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0