משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)

באנליזה מרוכבת, משפט ליוביל אומר כי פונקציה מרוכבת שלמה (כלומר, פונקציה שהולומורפית בכל המישור המרוכב) וחסומה חייבת להיות קבועה.

בין שימושיו של משפט זה ניתן למנות הוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה והוכחה אלגנטית לכך שספקטרום של אופרטור איננו ריק.

גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה לראשונה על-ידי ז'וזף ליוביל ב-1847 והמשפט המלא הוכח על-ידי אוגוסטן לואי קושי.

הוכחה

הוכחת המשפט מבוססת על שימוש בנוסחת האינטגרל של קושי. באמצעות הנוסחה מעריכים את הנגזרת של הפונקציה בכל נקודה. בשל שלמות הפונקציה, ערך הנגזרת נתון על-ידי אינטגרל סגור על מעגל סביב הנקודה שמחשבים את הנגזרת בה. ערך האינטגרל הולך וקטן כאשר מגדילים את רדיוס המעגל, וערך הנגזרת קטן מערך האינטגרלים על כל אחד מהמעגלים, ומכאן מסיקים כי בהכרח ערך הנגזרת הוא 0. מכיוון שערך הנגזרת של הפונקציה הוא 0 בכל נקודה, היא חייבת להיות קבועה.

על-פי נוסחת קושי מתקיים:

${\begin{aligned}f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {f(t)}{(t-z)^{2}}}dt\end{aligned}}$

נפעיל ערך מוחלט על שני האגפים:

${\begin{aligned}|f'(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {f(t)}{(t-z)^{2}}}dt\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {|f(t)|}{(t-z)^{2}}}|dt|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {M}{R^{2}}}|dt|\end{aligned}}$

המעבר האחרון מוצדק בכך שהפונקציה שלנו חסומה, כלומר מתקיים $|f(z)|\leq M$ לכל נקודה במישור עבור $M$ מסוים, ובכך שאנו לוקחים את האינטגרל על מעגל, ולכן מתקיים $|t-z|=R$ .

אינטגרל של פונקציה קבועה על מעגל שווה להיקפו, ולכן נקבל:

${\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi }}\oint _{|t-z|=R}{\frac {M}{R^{2}}}|dt|={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {M\cdot 2\pi R}{R^{2}}}={\frac {M}{R}}\end{aligned}}$

וזה נכון עבור כל מעגל שניקח סביב הנקודה $z$ , משום שהפונקציה הולומורפית בכל המישור.

לכן קיבלנו כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $R$ גדול דיו כך שיתקיים $|f'(z)|\leq {\frac {M}{R}}<\varepsilon$ , ולכן בהכרח $|f'(z)|=0$ , דבר המתקיים רק כאשר $f'(z)=0$ .

הכללות וחיזוקים

• תהי $f$ שלמה, ולכל $r>0$ נגדיר:

$M_{f}(r)={\underset {|z|=r}{\max }}|f(z)|\ ,\ A_{f}(r)={\underset {|z|=r}{\max }}{\Big |}{\text{Re}}{\big (}f(z){\big )}{\Big |}$

אם קיימים $C>0,a>0$ ממשיים כך שמתקיים $M_{f}(r)\leq Cr^{a},r\to \infty$ או $A_{f}(r)\leq Cr^{a},r\to \infty$ ,

אז $f$ פולינום ממעלה $\lfloor a\rfloor$ – הערך השלם של $a$ (משפט ליוביל מתקבל כאשר $a=0$).

• מסקנה נוספת מהנ"ל, הידועה כמשפט הדמר, היא – אם $f$ פונקציה שלמה ללא אפסים ומתקיים $M_{f}(r)\leq C^{r^{a}},r\to \infty$ עם $C>1$ , אזי היא מהצורה $f(z)=e^{p(z)}$ כאשר $p$ פולינום ממעלה $\lfloor a\rfloor$ (המשפט מתקבל מהנ"ל עם $\log(f)$).

• המשפט הקטן של פיקארד מחזק את משפט ליוביל. הוא קובע כי כל פונקציה שלמה ולא קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב מלבד אולי ערך אחד (למשל פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך מלבד 0).

• המשפט נכון גם עבור פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים, כלומר – פונקציה הולומורפית בכמה משתנים אשר חסומה היא קבועה.

• כל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא בהכרח קבועה (שכן מהקומפקטיות נובע שהפונקציה חסומה).

ראו גם

• תכונת ליוביל