משפט גאוס
(הופנה מהדף משפט הדיברגנץ)
באנליזה וקטורית, משפט גאוס או משפט הדיוורגנט מקשר בין השטף של שדה וקטורי על פני משטח סגור לדיוורגנט של השדה בתוך המשטח. המשפט נקרא על שם קרל פרידריך גאוס שגילה אותו בשנת 1813 (והוכיח אותו למקרים פרטיים), אך רק בשנת 1831 מיכאיל אוסטרוגרדסקי הוכיח את המשפט במלואו, לכן לעיתים קוראים לו משפט גאוס–אוסטרוגרדסקי. למשפט שימושים חשובים בפיזיקה ובפרט באלקטרוסטטיקה.
המשפט הוא מקרה פרטי של משפט סטוקס.
ניסוח פורמלי
יהי תחום חלקי ל־ סגור ובעל שפה חלקה למקוטעין, ויהי שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת , אזי מתקיים
כאשר שפת התחום , ו־ וקטור המייצג אלמנט שטח אינפיניטסימלי הניצב למשטח (לעיתים מסמנים , כאשר הנורמל הפונה החוצה של משטח השפה ), וכאשר .
ראו גם
אנליזה וקטורית | ||
---|---|---|
מושגים | אנליזה מתמטית - מונחים • מרחב וקטורי • שדה סקלרי • שדה וקטורי • גרדיאנט • נגזרת כיוונית • דיברגנץ • רוטור • לפלסיאן • דל במערכות צירים שונות • ד'אלמברטיאן • פוטנציאל וקטורי | |
משפטים | משפט גאוס • משפט גרין • משפט הגרדיאנט • משפט סטוקס | |
אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה • גאומטריה דיפרנציאלית |