משפט ארנפסט

במכניקת הקוונטים, משפט ארנפסט (על שם הפיזיקאי פול ארנפסט ) הוא משפט המקשר בין הנגזרת של ערך התצפית של אופרטור פיזיקלי כלשהו, עם הקומוטטור שלו עם ההמילטוניאן של המערכת.

המשפט אומר כי מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle+ \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא אופרטור פיזיקלי, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle A \rangle} הוא ערך התצפית שלו.

משפט ארנפסט מופיע רבות בתמונת הייזנברג בתור ערך התצפית של משוואת התנועה של הייזנברג. כמו כן, הוא מהווה תמיכה מתמטית לעקרון ההתאמה של בוהר.

משפט ארנפסט דומה מאוד למשפט ליוביל על המילטוניאנים , כאשר מחליפים את הקומוטטור בסוגרי פואסון. לפי כלל האצבע של דיראק, טענות במכניקת הקוונטים שמכילות קומוטטור מתאימות לטענות מהמכניקה הקלאסית כאשר מחליפים בין הקומוטטור וסוגרי פואסון, מוכפלים ב- iħ.

הוכחה בתמונת שרדינגר

תהי מערכת קוונטית הנמצאת במצב קוונטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi} . נרצה לחשב את הנגזרת בזמן של ערך התצפית של האופרטור A, והיא לפי הגדרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi dx^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) dx^3 = }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) dx^3 }

כאשר האינטגרציה היא על כל המרחב. כשנפעיל את משוואת שרדינגר, נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi}

והיות ואופרטור ההמילטוניאן הרמיטי, מתקיים גם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H^* = -\frac{1}{i\hbar}\Phi^*H.}

כשנציב את שתי המשוואות האחרונות במשוואה הראשונה, נקבל את המשפט:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle}

במקרים בהם האופרטור A אינו תלוי בזמן, האיבר האחרון מתאפס.

הוכחה בתמונת הייזנברג

בתמונת הייזנברג, הנגזרת טריוויאלית. תמונת הייזנברג מקדמת בזמן את המערכת באמצעות אופרטורים ולא מצבים על ידי משוואת התנועה של הייזנברג:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}A(t) = \frac{\partial A(t)}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar}[A(t),H]}

ניתן להוכיח מכאן את משפט ארנפסט בקלות באמצעות הפעלת נגזרת האופרטור באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle\Psi|\frac{d}{dt}A(t)|\Psi\rangle = \langle\Psi|\frac{\partial A(t)}{\partial t}|\Psi\rangle + \langle\Psi|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H)]|\Psi\rangle}

ניתן להוציא את הנגזרת מהביטוי הראשון היות שוקטורי מצב בתמונת הייזנברג הם בלתי תלויים בזמן. על כן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\langle[A(t),H)]\rangle}

דוגמה

עבור חלקיק גדול הנע בפוטנציאל V, ההמילטוניאן הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m} + V(x,t)}

כאשר x הוא מיקום החלקיק.

נרצה לחשב את השינוי הרגעי בתנע p. נעשה זאת תוך שימוש במשפט ארנפסט:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle }

כאשר המעבר השני נובע מכך שהתנע חילופי עם עצמו ואינו תלוי מפורשות בזמן.. נשתמש בכך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=-i \hbar \nabla} ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3}

נפעיל על הביטוי השני את כלל לייבניץ ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dt}\langle p\rangle &= \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 - \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 \\ &= - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 \\ &= \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle, \end{align}}

וזהו החוק השני של ניוטון. זוהי דוגמה לעקרון ההתאמה של בוהר. באופן דומה, ניתן לבדוק את השינוי בזמן של ערך התצפית של המקום:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dt}\langle x\rangle &= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle \\ &= \frac{1}{i\hbar} \left \langle \left [x,\frac{p^2}{2m} + V(x,t) \right ] \right \rangle + 0 \\ &= \frac{1}{i\hbar} \left \langle \left [x,\frac{p^2}{2m} \right] \right \rangle \\ &= \frac{1}{i\hbar 2 m} \left \langle [x,p] \frac{d}{dp} p^2 \right\rangle \\ &= \frac{1}{i\hbar 2 m}\langle i \hbar 2 p\rangle \\ &= \frac{1}{m}\langle p\rangle \end{align}}

אכן, שוב קיבלנו התאמה לעקרון מהמכניקה הקלאסית.

ראו גם

• מכניקת הקוונטים
• ערך תצפית
• דינמיקה קוונטית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט ארנפסט בוויקישיתוף

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט ארנפסט30768968Q908669