ערך תצפית (תורת הקוונטים)

בתורת הקוונטים משייכים לכל גודל מדיד בטבע (מהירות, תנע, אנרגיה וכו') אופרטור הרמיטי. לכל אופרטור כזה ניתן להגדיר ערך תצפית, שהוא התוחלת של הפעלת האופרטור על המערכת. לפי חוק המספרים הגדולים, הממוצע של מדידות רבות של האופרטור על אותה מערכת (או מערכות זהות במקביל, שהרי מצב המערכת משתנה בכל מדידה) מתכנס אל ערך התצפית.

כאשר אנו מודדים מערכת רבת חלקיקים (רוב העצמים שאנו באים איתם במגע יומיומי הם בעלי כמות גדולה של חלקיקים) הרבה פעמים המדידות שלנו הן למעשה הרבה מדידות על אוסף של מערכות זהות מה שמתכנס לערך התצפית ולכן לערך התצפית משמעות פיזיקאלית חשובה עבורנו.

לדוגמה כאשר אנו רואים, העין שלנו מבצעת מדידה על אור שמכיל כמות גדולה של פוטונים וניתן לומר כי העין שלנו "רואה" את ערך התצפית של המדידה שנקראת ראיה (לראיה חייב להיות אופרטור הרמיטי בתורת הקוונטים כיוון שהיא פעולה שמודדת עוצמה ואורך גל של גלים אלקטרומגנטיים בעולמנו).

פירוש בורן לפונקציית הגל

אחרי ששרדינגר פרסם את המשוואה שלו (משוואת שרדינגר) נתן הפיזיקאי מקס בורן פירוש לפונקציית הגל (פונקציית הגל היא פונקציה של המקום ${\vec {r}}$ והזמן t), שהיא הפתרון למשוואת שרדינגר. בורן פירש את הנורמה של פונקציית הגל בריבוע כפונקציית הצפיפות של ההסתברות למצוא את החלקיק הנתון בזמן t במקום ${\vec {r}}$:

$P({\vec {r}},t)=\quad |\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$

פירוש בורן לפונקציית הגל מנחה את הדרך לחישוב ערך תצפית, ערך תצפית של אופרטור הוא התוחלת של אופרטור זה.

הערה: נוכח פירוש זה של בורן חייב להתקיים עבור חלקיק קשור תנאי הנרמול הבא:

$\int _{-\infty }^{\infty }P({\vec {r}},t)d^{3}r=1$

עבור חלקיק לא קשור לא ניתן לקבוע נרמול לפונקציית הגל.

חישוב ערך תצפית

אם כך נוכל להגדיר את ערך התצפית של האופרטור ההרמיטי ${\hat {A}}$ באופן הבא:

הערך הממוצע של N מדידות של ${\hat {A}}$ על המערכת בגבול בו N הולך לאינסוף.

הדרך לחישוב ערך תצפית הוא על ידי המכפלה הפנימית (במרחב הפונקציות) של ${\hat {A}}$ פועל על $\psi$ בפונקציה $^{*}\psi$ (הצמודה הקומפלקסית של $\psi$)באופן הבא:

$<{\hat {A}}>=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}({\vec {r}},t){\hat {A}}\psi ({\vec {r}},t)d^{3}r$

בצורה כללית יותר נוהגים לסמן את מצב המערכת כוקטור במרחב כללי (מרחב הילברט) $|\psi \rangle$ הנקרא ket, שלו יש וקטור מתאים מהמרחב הדואלי $\langle \psi |$ הנקרא bra ואז הערך התצפית של המערכת הינו המכפלה הפנימית בין ה ket עליו פועל האופרטור ${\hat {A}}$ לבין ה bra התואם, באופן הבא:

$<{\hat {A}}>=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle$

דוגמה פשוטה: אם לאופרטור ${\hat {A}}$ מצבים עצמיים אורתונורמליים $|n\rangle$ וערכים עצמיים $a_{n}$ והמערכת נמצאת במצב=$|\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|n\rangle$ אז ערך התצפית של ${\hat {A}}$ יהיה

$<{\hat {A}}>=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle =\sum _{n,m}\langle m|c_{m}^{*}c_{n}{\hat {A}}|n\rangle =\sum _{n,m}\langle m|c_{m}^{*}a_{n}c_{n}|n\rangle =\sum _{n,m}c_{m}^{*}c_{n}a_{n}\delta _{n,m}=\sum _{n}|c_{n}|^{2}a_{n}$

כיוון ש-

$\langle m|n\rangle =\delta _{n,m}$

דיון

עבור חלקיק קשור, לאופרטור ההמילטוניאן (אנרגיה) יש מצבים עצמיים וערכים עצמיים בני מניה, אחת מהנחות היסוד של מכניקת הקוונטים היא שבמדידה מסוימת (נניח של אנרגיה) יכול להתקבל רק ערך יחיד מהערכים העצמיים הללו ופונקציית הגל קורסת לפונקציה העצמית של אותו ערך עצמי. בהתאם לכך ייתכן שערך התצפית של ההמילטוניאן יהיה ערך שלא ניתן כלל לקבל במדידה (כיוון שהוא ממוצע בין ערכים עצמיים רבים שלא בהכרח מתכנס לאחד מערכים אלו - כמו הערך הממוצע בהטלת קובייה שהוא 3.5 - ערך שלא ניתן לקבל בהטלה בודדת)

---

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

18021516ערך תצפית (תורת הקוונטים)