סוגרי פואסון
סוגרי פואסון הוא אופרטור בי-ליניארי במכניקה המילטונית, הפועל על שתי פונקציות שתחום ההגדרה שלהן הוא במרחב הפאזה. סוגרי פואסון הם כלי חשוב במכניקה אנליטית.
הגדרתו של האופרטור היא:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{u,v\}_{q,p}=\frac{\partial u}{\partial q}\frac{\partial v}{\partial p}- \frac{\partial v}{\partial q}\frac{\partial u}{\partial p}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(q,p) , v(q,p)} הן פונקציות גזירות התלויות ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q,p} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q,p} הם משתנים
האופרטור נמצא בשימוש נרחב במכניקה אנליטית.
סוגרי פואסון במספר משתנים
יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (q_i,p_j)} קואורדינטות קנוניות במרחב הפאזה. יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(p_i,q_i,t)} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(p_i,q_i,t)\,} שתי פונקציות גזירות בקואורדינטות הקנוניות. אזי סוגרי פואסון מוגדרים להיות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right] }
תכונות אלגבריות
- ליניאריות
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\lambda u,\sigma v\}_{q,p}=\lambda \sigma \{u,v\}_{q,p}}
- אנטי סימטריות
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{u,v\}_{q,p}=-\{v,u\}_{q,p}}
- מקיים את חוק לייבניץ לנגזרות
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f,gh\}_{q,p}=\{f,g\}_{q,p}h+g\{f,h\}_{q,p}}
- זהות יעקובי
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{u,\{v,w\}\}_{q,p}+\{w,\{u,v\}\}_{q,p}+\{v,\{w,u\}\}_{q,p}=0}
שימושים בפיזיקה
בפיזיקה, משוואות הפורמליזם ההמילטוניאני מנוסחות בעזרת סוגרי פואסון. בעזרת סוגרי הפואסון ניתן להגדיר את המשתנים הקנוניים של המערכת.
במכניקה קוונטית, הקומוטטור מקיים את אותן תכונות אלגבריות כמו סוגרי הפואסון. שיטת קוונטיזציה סטנדרטית, שפותחה על ידי פול דיראק[1], משתמשת בסוגרי פואסון של מערכת קלאסית כדי לתאר את המערכת הקוונטית. האופרטורים המייצגים של הגדלים הקלאסיים נבחרים כך שיחס החילוף בניהם שווה לסוגר הפואסון הקלאסי שלהם כפול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \hbar} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar} הוא קבוע פלאנק חלקי 2π). בגלל שהקומוטטור וסוגרי פואסון מקיימים את אותן תכונות אלגבריות, עבור מערכות פשוטות מספיק הדבר מבטיח שמשוואות התנועה הקוונטיות יהיו בעלות אותה צורה כמו משוואות התנועה הקלאסית (בתמונת הייזנברג). כך לדוגמה, משום שהמקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} והתנע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} מקיימים באופן קלאסי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{ X, P \}_{P.B. } = 1} , ובקוונטיזציה קנונית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [X, P] = XP - PX = i\hbar } , אז משוואות התנועה הקוונטיות, היינו משוואת הייזנברג, נותנת:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{X} = P; \dot{P} = \frac{dV}{dX}}
שהן בדיוק משוואות התנועה הקלאסיות. קוונטיזציה קנונית מבטיחה שהיחס הזה ישמר עבור מערכות לא פתולוגיות. את התהליך הזה ניתן להכליל גם עבור שדות, והוא משמש כדי להגדיר את המרחב והאופרטורים הבוזונים בתורת השדות הקוונטית.
קישורים חיצוניים
- סוגרי פואסון, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
- ↑ Dirac, P. A. M. (1925), The Fundamental Equations of Quantum Mechanics, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 109 (752): 642. Bibcode:1925RSPSA.109..642D. doi:10.1098/rspa.1925.0150
סוגרי פואסון28263794Q1052775