עקרון ההתאמה של בוהר

עקרון ההתאמה של בוהר פותח על ידי נילס בוהר בשנת 1923, ולפיו כאשר מערכת קוונטית שואפת אל הגבול הקלאסי, משמע בעבור מספרים קוונטיים גדולים (וחבורת גלים) ההתנהגות של המערכת תתאים לתוצאות הקלאסיות. במילים אחרות, עבור סדרי גודל גדולים, או אנרגיות גבוהות, המשוואות הקוונטיות יתנו את התוצאות הקלאסיות, אותן ניתן לקבל מחוקים כמו חוקי ניוטון ומשוואות מקסוול.

בנוסף ניתן להראות על ידי עקרון ההתאמה כי בגבול של מהירויות נמוכות תורת היחסות מנבאת את התוצאות הקלאסיות.

תיאור הבעיה

עקרון ההתאמה נובע מהשאלה הבסיסית אשר הועלתה על ידי פיזיקאים בעקבות פיתוח מכניקת הקוונטים (המתארת חלקיקים בסדר גודל אטומי) - מתי הערכים והנוסחאות של המכניקה הקלאסית נכונים לשימוש לצורך תיאור התנהגותה של המערכת, ומתי יש להשתמש בכלים הקוונטיים. בעוד שמכניקת הקוונטים מתארת ברמה מדויקת למדי את תוצאות הניסויים ותצפיות בקנה המידה התואם, משמע חלקיקים בעלי מספר קוונטי קטן או בעלי אנרגיה כוללת בסדר גודל של מסת המנוחה של החלקיק, בקנה מידה היומיומי חוקי ניוטון ומשוואות מקסוול מתארים ומנבאים ברמת דיוק גבוהה את התוצאות הנצפות בניסויים. בקנה מידה כזה ניתן להתעלם באופן כללי מההשפעות הנובעות מתופעות קוונטיות, כמו עקרון אי הוודאות של הייזנברג.

עקרון ארנפסט

עקרון ארנפסט ניתן באופן מסוים לתיאור כפתרון לבעיה הזו. על פי עיקרון זה, הממוצעים של ערכי מדידה קוונטיים מקיימים את משוואות התנועה הקלאסיות. הביטוי המתמטי לעיקרון זה הוא ${\frac {d<A>}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}<[H,A]>$ כאשר $[H,A]$ הוא הקומוטטור (יחס חילוף) של האופרטור A ו<.> מצינים את התוחלת של הערך בכתיב דיראק. H הוא ההמילטוניאן, i הוא מספר מדומה.

לצורך דוגמה, נבחר חלקיק חופשי במימד אחד ונבחן את המיקום שלו, ידוע כי יחס החילוף מקיים $[H,X]=[{\frac {P^{2}}{2M}},X]={\frac {\hbar P}{iM}}$ כעת נציב במשפט ארנפסט ונקבל ${\frac {d<x>}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}*<{\frac {\hbar P}{i*M}}>={\frac {<P>}{M}}$ , תוצאה התואמת את התוצאה הקלאסית הידועה: $p=mv=m{\frac {dx}{dt}}$ .