משפט ליוביל (מכניקה המילטונית)

במכניקה המילטונית ובמכניקה ססטיסטית, משפט ליוביל, הנקרא על שמו של ז'וזף ליוביל, מתאר את ההתנהגות של מערכת פיזיקלית במרחב הפאזה. משפט זה, בניסוחים שקולים, טוען שהנפח במרחב הפאזה נשמר תחת טרנספורמציות קנוניות, וכן שפונקציית צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה נשארת קבועה עבור כל מסלול בו. תוצאה זו מצדיקה את ההנחה היסודית של המכניקה הסטטיסטית שטוענת כי במערכת סגורה כל המצבים המיקרוסקופיים הזמינים הם שווי-הסתברות.

שימור הנפח במרחב הפאזה

במערכת פיזיקאלית המתוארת על ידי $s$ קואורדינטות מוכללות $q_{1},q_{2},...,q_{s}$, מרחב הפאזה הוא מרחב בעל $2s$ ממדים - מימד אחד לכל קואורדינטה מוכללת ומימד אחד לכל תנע הצמוד לקואורדינטה מוכללת: $p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}$, כאשר ${\mathcal {L}}$ הלגראנז'יאן של המערכת. כל נקודה במרחב הפאזה מייצגת מצב מוגדר מסוים של המערכת, וכאשר המערכת נעה הנקודה המתאימה לכל מצב מגדירה עקומה הנקראת מסלול הפאזה.

אלמנט נפח אינפיניטסימלי במרחב הפאזה ניתן לרשום כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\Gamma=\prod_{i=1}^s{dq_idp_i}} , ולכן נפח מסוים במרחב הפאזה, היכול לייצג קונפיגורציות של מערכת מרובת חלקיקים (צבר) הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{d\Gamma}} . משפט ליוביל טוען שהנפח אינווריאנטי תחת טרנספורמציות קנוניות. טרנספורמציה קנונית מעבירה את הקוארינטות והתנעים המוכללים לקואורדינטות ותנעים מוכללים חדשים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (q_1,...,q_s;p_1,...,p_s;t)\mapsto(Q_1,...,Q_s;P_1,...,P_s;t)} באופן שמשמר את משוואות המילטון. בפרט, מכיוון שהתקדמות בזמן - מעבר מהקואורדינטות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(t),p(t)} לערכיהן לאחר זמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(t+\tau),p(t+\tau)} - היא טרנספורמציה קנונית, ניתן לראות שהנפח במרחב הפאזה נשמר בזמן.

הוכחה

רוצים להראות שהנפח במונחי הקואורדינטות הקודמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma_{q,p}=\int...\int{dq_1...dq_sdp_1...dp_s}} זהה לנפח במונחי הקואורדינטות החדשות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma_{Q,P}=\int...\int{dQ_1...dQ_sdP_1...dP_s}} . ניתן להעביר את האינטגרל השני להיות אינטגרל במונחי הקואורדינטות הישנות בעזרת היעקוביאן:

$\int {dQ_{1}...dQ_{s}dP_{1}...dP_{s}}=\int {Jdq_{1}...dq_{s}dp_{1}...dp_{s}}$, ולכן נותר רק להראות שהיעקוביאן הוא 1.

נשתמש בכללים של יעקוביאנים כדי לקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J=\frac{\partial(Q_1,...,Q_s,P_1,...,P_s)}{\partial(q_1,...,q_s,p_1,...,p_s)}=\frac{\frac{\partial(Q_1,...,Q_s,P_1,...,P_s)}{\partial(q_1,...,q_s,P_1,...,P_s)}}{\frac{\partial(q_1,...,q_s,p_1,...,p_s)}{\partial(q_1,...,q_s,P_1,...,P_s)}}=\frac{(\frac{\partial(Q_1,...,Q_s)}{\partial(q_1,...,q_s)})_{P=const}}{(\frac{\partial(p_1,...,p_s)}{\partial(P_1,...,P_s)})_{q=const}}} .

כל טרנספורמציה קנונית ניתן לרשום במונחי פונקציה יוצרת כלשהי, למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi(q_i, P_i, t)} כך שהקואורדינטות האחרות מתקבלות ממנה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_i = \frac{\partial\Phi}{\partial q_i}, Q_i=\frac{\partial\Phi}{\partial P_i}} . לכן האיבר בדטרמיננטה שבמונה בשורה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} ובעמודה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial Q_i}{\partial q_k}=\frac{\partial}{\partial q_k}(\frac{\partial\Phi}{\partial P_i})=\frac{\partial^2\Phi}{\partial q_k P_i}} . האיבר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,k} בדטרמיננטה שבמכנה הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial p_i}{\partial P_k}=\frac{\partial}{\partial P_k}(\frac{\partial\Phi}{\partial q_i})=\frac{\partial^2\Phi}{\partial q_i \partial P_k}} , כלומר היעקוביאן שבמכנה הוא שחלוף של זה שבמונה, ולכן הדטרמיננטות שלהם זהות. קיבלנו כי $J=1$ ולכן הנפחים שווים.

משוואת ליוביל

עבור צבר של מצבים שונים של מערכת פיזיקלית מסוימת, נגדיר את פונקציית צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(q_1,...,q_s,p_1,...,p_s,t)dq_1...dq_sdp_1...dp_s} היא ההסתברות למצוא את המערכת במצב מסוים שנמצא באלמנט הנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\Gamma=dq_1...dq_sdp_1...dp_s} . מכיוון שהתקדמות בזמן היא טרנספורמציה קנונית, והנפח במרחב הפאזה קבוע תחת טרנספורמציות קנוניות, נקבל כי הנפח שתופסים מספר מצבים במרחב הפאזה, המתפתחים בזמן באופן קלאסי (על-פי משוואות המילטון) נשמר בזמן, ולכן צפיפות ההסתברות לאורך מסלול ההתפתחות בזמן, גם היא קבועה בזמן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\rho}{dt}=\{\rho,\mathcal{H}\}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} ההמילטוניאן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f,g\}=\sum_{i=1}^s{\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}}} סוגרי פואסון, והקשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{df}{dt}=\{f,\mathcal{H}\}+\frac{\partial f}{\partial t}} ידוע ממכינקה המילטונית.

זוהי משוואת ליוביל המתארת את התפתחות צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה בזמן. בצורה שקולה ניתן לרשום:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}=-\{\rho,\mathcal{H}\}}

למשוואה זו, הנכונה למכניקה הקלאסית הנשלטת על-ידי משוואות המילטון, יש מקבילה במכניקת הקוונטים, משוואת פון-נוימן:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}[\rho ,{\mathcal {H}}]$

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} הוא אופרטור הצפיפות.

במערכות בשיווי משקל

עבור מערכות שנמצאות בשיווי משקל, צפיפות ההסתברות אינה תלויה מפורשות בזמן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t}=0} . במקרה זה, משוואת ליוביל הופכת להיות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\rho, \mathcal{H}\}=0}

פתרון כללי לכך הוא שצפיפות ההסתברות היא פונקציה של ההמילטוניאן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(q,p)=\rho(\mathcal{H(q,p)})}

במכניקה סטטיסטית, פונקציית צפיפות זאת מתארת את ההסתברויות השונות למצוא את המערכת במצב מסוים בצבר כלשהו. במערכת הסגורה, האנרגיה קבועה ולכן ההמילטוניאן יכול להיות שווה רק לערך כלשהו, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} . לפיכך, צפיפות ההסתברות גם היא קבועה עבור המצבים הזמינים (אלה הנותנים את אותה האנרגיה):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(q,p)=\frac{\delta(\mathcal{H(p,q)}-U)}{\int{\delta(\mathcal{H(p,q)}-U)d\Gamma}}} , וכאשר המצבים בדידים ההסתברות זהה לכל המצבים הזמינים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_s=\frac{1}{\sum_s{1}}=\frac{1}{g(U)}} , זוהי פונקציית ההסתברות בצבר המיקרוקנוני שמראה את ההנחה היסודית של המכניקה הסטטיסטית - בשיווי משקל במערכת סגורה כל המצבים הזמינים הם שווי הסתברות.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31685065משפט ליוביל (מכניקה המילטונית)