משפטי פיקאר

באנליזה מרוכבת, משפטי פיקאר הם שני משפטים שנותנים מידע בדבר תמונת פונקציה אנליטית של המישור המרוכב כולו או סביב נקודת סינגולריות עיקרית יחידה. הם נקראים על שם המתמטיקאי אמיל פיקאר, ונהוג לכנותם בשמות "משפט פיקאר הקטן" ו"משפט פיקאר הגדול". פיקאר הוכיח אותם בשנים 1879 ו-1880 בהתאמה. הם מהווים חיזוק משמעותי למשפט קזוראטי-ויירשטראס, הקובע כי תמונה כנ"ל היא קבוצה צפופה.

ניסוח

המשפט הקטן

תהי $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה מרוכבת שלמה ולא קבועה, אזי תמונת הפונקציה היא המישור המרוכב כולו, או המישור המרוכב פרט לנקודה אחת.

המשפט הגדול

תהי $f$ פונקציה מרוכבת, אנליטית בסביבה $U$, פרט לנקודת סינגולריות עיקרית $z_{0}\in U$. אז לכל סביבה $z_{0}\in S\subseteq U$, הקבוצה $f(S\backslash \ \{z_{0}\})$ שווה למישור המרוכב כולו פרט אולי לנקודה אחת. יותר מכך, כל ערך שמתקבל – מתקבל מספר אינסופי (בן מנייה) של פעמים.

הוכחה

המשפט הקטן

ההוכחה היא בשלילה. נניח בשלילה כי הפונקציה לא מקבלת את הערכים $a\neq b,a,b\in \mathbb {C}$. ניתן להניח כי $a=1,b=0$ (אחרת נביט בפונקציה ${\frac {f(z)-a}{b-a}}$).

נגדיר כעת סדרה של פונקציות עזר.

הנחנו $\forall z\in \mathbb {C} :f(z)\neq 0$, לכן מוגדרת ואנליטית פונקציית הלוגוריתם המרוכב הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle h(z)={\frac {1}{2\pi i}}log(f(z))} . כעת, $\forall z\in \mathbb {C} :f(z)\neq 1$, ולכן h לא מקבלת ערכים שלמים. לכן, קיים לפונקציות $h,h-1$ שורש ריבועי אנליטי מרוכב, כלומר יש פונקציות $u,v$ אנליטיות כך ש-$u^{2}=h,v^{2}=h-1$. אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u-v)(u+v)=u^2-v^2=1 \neq 0} ולכן מוגדר ואנליטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi (z)=log(u-v)} . כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u-v= {e}^{\phi},u+v= {e}^{-\phi}} , ולכןהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\frac{{e}^{\phi}+{e}^{-\phi}}{2}} . לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} לא קבועה (אחרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} קבועה ואז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} קבועה).

בשלב הבא, נגדיר סדרת נקודות במישור המרוכב: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma (m,n)= \pm ln(\sqrt{m}+\sqrt{m-1}) + \frac{\pi n i}{2}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{Z}} .

חישובים ישירים מראים כי כל עיגול פתוח ברדיוס אחד מכיל לפחות נקודה אחת כזו, וכל נקודה כזו לא נמצאת בתמונה $\phi (\mathbb {C} )$, וזו סתירה למסקנה ממשפט בלוך-לנדאו, הקובעת כי תמונת כל פונקציה אנליטית לא קבועה מכילה עיגול ברדיוס 1.

המשפט הגדול

בהוכחה יש להיעזר במשפט שוטקי, הנותן חסם אוניברסלי על משפחת פונקציות בה יש שימוש במשפט פיקארד:

משפט שוטקי: לכל שני מספרים ממשיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<w \in \mathbb{R} , 0 \le \theta \le 1} , קיים מספר ממשי חיובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi (w,\theta) >0} , כך שלכל פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\overline{B(0,1)} = \{ z : |z| \le 1 \} \to \mathbb{C}} אנליטית שלא מקבלת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0,1} וכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(0)|\le w} , מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall |z| \le \theta : |f(z)| \le \psi(w , \theta)}

כעת, נוכיח את משפט פיקאר הגדול:

מספיק להוכיח שבכל טבעת (המוכלת בתחום) מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_R = \{ z : 0< |z-z_0| < R \}} , הפונקציה מקבלת כל ערך פרט אולי לאחד. שוב בשלילה, נניח שהפונקציה לא מקבלת שני ערכים. על ידי הזזה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{f(z_0+Rz)-b}{a-b}} ניתן להניח כי נקודת הסינגולריות היא $z_{0}=0$ והערכים שהפונקציה לא מקבלת בטבעתהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_1 = \{ z : 0< |z| < 1 \}} , הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=1,b=0} .

כעת, לפי משפט קסורטי-ויירשטראס, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r < R} הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\{ z : 0 < |z| < r \} )} צפופה, ולכן קיימת סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_n \to 0} כזו ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z_n| \le e^{-4 \pi}} וכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(z_n)| \le w} חסומה.

נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(z)=f(z_n e^{4 \pi z})} . היא אנליטית ב-$\{z:|z|<1\}$. לפי משפט שוטקי, לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z| \le \frac{1}{2}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(z) \le \psi (w,\frac{1}{2})=c} .

כעת, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} בתחום כזה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z| = |z_n|} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = e^{it} z_n = z_n e^{4 \pi \cdot \frac{it}{4 \pi}}} , ולכן לפי החסם לעיל:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z) = f( z_n e^{4 \pi \cdot \frac{it}{4 \pi}}) =H_n(\frac{it}{4 \pi})} , ומכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\frac{it}{4 \pi}| \le \frac{1}{2}} נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(z)| \le c} .

זה נכון לכל הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |z|=|z_{n}|} , אבל לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} אחרת בתחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{ z : 0 < |z| < e^{-4 \pi} \}} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z_{n+1}| \le |z| \le |z_n|} , ולכן לפי עקרון המקסימום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(z)| \le c} (פה משתמשים באופן מובהק במשפט שוטקי, שכן החסם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi (w,\frac{1}{2})=c} גלובלי ונכון לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ).

לכן, הוכחנו שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} חסומה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{ z : 0 < |z| < e^{-4 \pi} \}} , אבל זה אומר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0=0} נקודת אי רציפות סליקה, בניגוד להנחת המשפט.

דוגמאות

• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{z}} היא דוגמה לפונקציה שמקיימת את תנאי המשפט הקטן. היות שהפונקציה לא מקבלת את הערך 0, נובע מהמשפט הקטן כי היא מקבלת בהכרח כל ערך אחר, כלומר תמונתה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C-\{ 0\} } .
• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {e}^{\frac{1}{z}}} שמוגדרת בכל נקודה פרט לנקודת הסינגולריות העיקרית z=0, מקיימת את תנאי המשפט הגדול. לכן לפי המשפט תמונתה היא גם כן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C-\{ 0\} } .
• פונקציה שלמה שאיננה פולינום מקבלת כל ערך אינסוף פעמים. כדי להוכיח זאת יש להביט בפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\frac{1}{z})} , לה יש נקודה סינגולרית עיקרית סביב האפס, ולכן היא מקיימת את התנאים של משפט פיקארד הגדול.
• כמסקנה מהתוצאה הקודמת, כל פונקציה שלמה וחד חד ערכית היא בהכרח פולינום ממעלה 1 בדיוק, כלומר פולינום ליניארי. אכן, היא בהכרח פולינום אחרת לפי הסעיף הקודם היא לא חד-חד-ערכית; יותר מכך, ידוע שכל פולינום מרוכב ממעלה 2 לפחות איננו חד-חד-ערכי (ניתן להוכיח זאת למשל באינדוקציה).

הכללות

למשפט פיקארד יש מספר הכללות, חלקן חלקיות ותחת מחקר.

משפט פיקאר הגדול לפונקציות מרומורפיות

זוהי הכללה של משפט פיקאר הגדול, המדברת על פונקציות מרומורפיות, או ביתר כלליות פונקציות ממשטח רימן אל הספירה של רימן.

משפט: יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} משטח רימן ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w \in M} . תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:M \setminus \{w\} \to S^1} פונקציה הולומורפית, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1=\mathbb{C} \cup \{\infty\}} היא הספירה של רימן. אז אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w} נקודת סינגולריות עיקרית של הפונקציה, אז תמונתה על כל כקבוצה פתוחה המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w} היא כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1} פרט אולי לשתי נקודות. כל ערך שמתקבל, מתקבל אינסוף פעמים.

במילים אחרות, פונקציה מרומורפית שלא מקבלת שלוש נקודות היא קבועה.

מהכללה זו ניתן להסיק את המשפט הקטן - משום שכל פונקציה שלמה היא או פולינום (לא קבוע), או שיש לה סינגולריות עיקרית באינסוף.

דוגמה: הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z)=\frac{1}{1-e^{\frac{1}{z}}}} היא מרומורפית; היא מקבלת את הערך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty} בכל סביבה של אפס, ולא מקבלת את שתי הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0,1} .

ראו גם

• משפט קסורטי-ויירשטראס
• משפט בלוך-לנדאו
• משפט שוטקי

קישורים חיצוניים

• משפטי פיקאר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34015359משפטי פיקאר