משפט קזוראטי-ויירשטראס

משפט קזוראטי-ויירשטראס הוא משפט מתמטי מתחום הפונקציות המרוכבות, הנותן מידע בדבר תמונת פונקציה הולומורפית בסביבה של נקודת סינגולריות עיקרית.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי פליס קזוראטי (אנ') והמתמטיקאי הגרמני קארל ויירשטראס. בספרות מתמטית רוסית המשפט קרוי משפט סוחוצקי, על שם המתמטיקאי הרוסי-פולני יוליאן סוחוצקי (אנ').

ניסוח

תהי $f$ פונקציה הולומורפית בתחום $U\subset \mathbb {C}$ , מלבד נקודת סינגולריות עיקרית אחת $z_{0}\in U$ . אזי לכל סביבה $V\subset U$ של $z_{0}$ , הקבוצה $f(V\ \backslash \ \{z_{0}\})$ צפופה במישור המרוכב. למעשה קובע המשפט כי תנאי זה שקול להיות $z_{0}$ נקודת סינגולריות עיקרית של $f$ .

משפט פיקארד מחזק את המשפט, וקובע שתמונת פונקציה הולומורפית בסביבה נקובה של נקודת סינגולריות עיקרית, היא לא רק צפופה אלא ממש שווה למישור המרוכב כולו פרט אולי לנקודה אחת.

הוכחה

ההוכחה היא על דרך השלילה.

נניח בשלילה, שקיימת סביבה $S$ של הנקודה $z_{0}$ , בה $f$ אנליטית פרט לנקודת סינגולריות עיקרית $z_{0}$ , ו- $f(S)$ לא צפופה במישור המרוכב.

כידוע, קבוצה היא צפופה במרחב אם ורק אם היא פוגשת כל קבוצה פתוחה. לכן, קיימים $a\in C$ ו- $r>0$ , כך ש- $f(S)\cap B(a,r)=\phi$ (כאשר $B(a,r)$ הוא כדור פתוח ברדיוס $r$ סביב הנקודה $a$ ).

לכן, לכל $z\in S$ , מתקיים $f(z)\notin B(a,r)$ , לכן $|f(z)-a|>r$ . לכן, בקבוצה $S$ מוגדרת הפונקציה $r(z)={\frac {1}{f(z)-a}}$ . מהגדרתה, הפונקציה אנליטית באופן מיידי בכל $S$ פרט אולי ל- $z_{0}$ .

באשר ל- $z_{0}$ , הפונקציה חסומה סביבה: $|r(z)|<{\frac {1}{r}}$ , לכן $z_{0}$ נקודה סינגולרית סליקה של $r$ . לכן קיים $L\in C$ , כך ש- $\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}{r(z)}=L$ .

נפריד למקרים - אם $L\neq 0$ , אז מכך ש- $f(z)=a+{\frac {1}{r(z)}}$ נקבל $\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}{f(z)}=a+{\frac {1}{L}}$ .

אחרת, אם $L=0$ נקבל כי $\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}{f(z)}=\infty$ . שני המקרים מובילים לסתירה, שכן גבול הפונקציה בנקודה סינגולרית עיקרית לא קיים כלל.

דוגמה

נביט בפונקציה האנליטית ${e}^{\frac {1}{z}}:\mathbb {C} -\{0\}\rightarrow \mathbb {C}$ . ניתן לוודא על ידי פתרון ישיר, כי תמונת הפונקציה היא $\mathbb {C} -\{0\}$ . תוצאה זו צפויה ממשפט פיקארד, שכן לא ייתכן שהנקודה 0 תתקבל, ולכן כל שאר הנקודות חייבות להתקבל. בפרט, התמונה ודאי צפופה ב- $\mathbb {C}$ .