משפט בלוך-לנדאו

באנליזה מרוכבת, משפטי בלוך-לנדאו הם משפטים בדבר פונקציה הולומורפית $f$ בעיגול היחידה המקיימת $|f'(0)|=1$. המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת משפט פיקארד הקטן. הם נקראים על שמם של המתמטיקאים אנדרי בלוך ואדמונד לנדאו.

משפט בלוך

משפט בלוך - תהי $f$ פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת $|f'(0)|=1$. אזי קיים קבוע $b>0$ כך שהפונקציה הפיכה בכדור הפתוח ברדיוס $b$. כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית $g$ כך ש-$g\circ f$ היא הזהות על כדור כנ"ל.

הקבוע האופטימלי $B$ שמקיים את משפט בלוך נקרא קבוע בלוך, וערכו לא ידוע עד היום. בכל זאת, ידוע חסם לא רע - $0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.4719$.

משפט לנדאו

משפט לנדאו (לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו) - תהי $f$ פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת $|f'(0)|=1$. אזי תמונת $f$ מכילה כדור ברדיוס חיובי $l>0$.

הקבוע האופטימלי $L$ המקיים את משפט לנדאו נקרא קבוע לנדאו; ניתן להוכיח דיי בקלות כי $L>{\frac {1}{16}}$, וטיעונים מסובכים יותר מראים כי $0.5<L<0.544$ בערך. גם הערך של $L$ לא ידוע.

משפט ואלירון

המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ג'ורג ואלירון. משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.

משפט ואלירון - אם $f$ פונקציה שלמה לא קבועה, אז קיים עיגול $D$ ופונקציה אנליטית $\phi :D\to \mathbb {C}$ כך ש-$\forall z\in D:f(\phi (z))=z$.

למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי עקרון בלוך.

יישומים

במשפט פיקארד הקטן יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:

משפט: אם $f$ פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.

הוכחה: $f$ לא קבועה, תהי $z_{0}\in \mathbb {C}$ עבורה $f'(z_{0})\neq 0$. נגדיר $\psi (z)={\frac {1}{16}}f({\frac {16}{f'(z_{0})}}z+z_{0})$. אז $\psi$ מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס ${\frac {1}{16}}$, ולכן מתקיים הדרוש.

ראו גם

• משפטי פיקארד