מרחב (CAT(k
במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).
ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ אפשר לכייל למרחבי $ \ {\mbox{CAT}}(k') $ אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.
הגדרות
מרחבי המודל
עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- $ \ M_{k} $ את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה, $ \ M_{0} $ הוא המישור האוקלידי $ \ \mathbb {R} ^{2} $ עם המטריקה הרגילה שלו; $ \ M_{1} $ הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- $ \ M_{-1} $ הוא המישור ההיפרבולי.
אם k>0, הקוטר של המרחב הוא $ \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $ (אחרת הקוטר אינסופי).
משולשי השוואה
נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על $ \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $. אז קיים ב-$ \ M_{k} $ משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.
תנאי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $
נניח ש-$ \ (X,d) $ הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה $ \ \gamma :[a,b]\rightarrow X $, כאשר $ \ [a,b] $ הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים $ \ d(\gamma (t),\gamma (s))=|t-s| $ לכל $ \ a\leq t\leq s\leq b $). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב $ \ M_{k} $.
המרחב X נקרא מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $, אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על $ \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $), מקיים את תנאי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $. אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $. מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".
התנאי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם $ \ k<k' $, אז כל מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ הוא גם מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k') $. מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא $ \ {\mbox{CAT}}(k') $ לכל $ \ k<k' $, הוא גם $ \ {\mbox{CAT}}(k) $.
דוגמאות
המרחב $ \ M_{k} $ הוא $ \ {\mbox{CAT}}(k) $.
המרחב האוקלידי $ \ \mathbb {E} ^{n} $ (מכל ממד) הוא $ \ {\mbox{CAT}}(0) $. המרחב ההיפרבולי $ \ \mathbb {H} ^{n} $ (מכל ממד) הוא $ \ {\mbox{CAT}}(-1) $. ספירת היחידה $ \ \mathbb {S} ^{n} $ (בכל ממד) היא $ \ {\mbox{CAT}}(1) $ (אבל לא $ \ {\mbox{CAT}}(0) $). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות $ \ {\frac {1}{\sqrt {r}}} $) היא $ \ {\mbox{CAT}}({\frac {1}{\sqrt {r}}}) $. כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ הוא מרחב מכפלה פנימית.
אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו $ \ {\mbox{CAT}}(0) $. מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא $ \ {\mbox{CAT}}(0) $, ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.
עץ הוא מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ לכל k.
כל מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $, עבור k<0, הוא מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(0) $. בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.
תכונות של מרחבי $ \ {\mbox{CAT}}(k) $
יהי X מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $.
תכונות מקומיות
- בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על $ \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $ אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
- כל עקום (שאורכו אינו עולה על $ \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $ אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
- כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על $ \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $ אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
- כדורים (שרדיוסם אינו עולה על $ \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $ אם k>0) הם כוויצים.
- נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על $ \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}} $ אם k>0) ולכל $ \ \epsilon >0 $ קיים $ \ \delta >0 $, כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על $ \ {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta $, נמצאת במרחק $ \ \epsilon $ לכל היותר מ-m.
מרחב הכיסוי האוניברסלי
- מתכונות אלה נובע שאם $ \ k\leq 0 $, מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות $ \ \mathbb {S} ^{n} $ מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $.
היפרבוליות
כל מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ (עבור $ \ k<0 $) הוא מרחב היפרבולי. מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי $ \ \mathbb {R} ^{2} $ (עם המטריקה הרגילה).
ראו גם
מרחב (CAT(k30546237Q5008891